Berechnen der Koeffizienten a, b, c mithilfe eines linearen Gleichungssystems

Question

Eine Parabel \( y=a x^{2}+b x+c \) geht durch die Punkte \( P_{1}(-1 \mid-3), P_{2}(-2 \mid-3) \) und \( P_{3}(1 \mid 3) \).
Berechnen Sie die Koeffizienten \( a, b, c \) mithilfe eines linearen Gleichungssystems.
Hinweis: Verwenden Sie für die Eingabe nur die Bezeichnungen \( a, b \) und \( c \).
Gleichungssytem:
1.

2.

3.

Koeffizienten:

a =

b =

c =

Kann mir wer eine Lösung zeigen mit erklärung wenn es geht

Answer 1

Hallo,

\( y=a x^{2}+b x+c \) geht durch die Punkte \( P_{1}(-1 \mid-3), P_{2}(-2 \mid-3) \) und \( P_{3}(1 \mid 3) \).

1.     -3 = a*(-1)² +b* (-1) +c

2.     -3 =a*(-2)² +b* (-2) +c

3.      3= a*1² +b*1 +c

1.      -3 = a -b +c

2.      -3 = 4a -2b +c

3.       3 =  a +b +c         | *(-1)   und zu 1 addieren

1:     -3 = a -b +c

3´.    -3 = -a -b-c

         -6 = -2b        ->  b = 3

         weiter folgt dann a= 1  und c= -1

f(x) = x² +3x -1

~plot~ x^2+3x-1 ~plot~

Comments

Vielen Lieben Dank musste mehrmals drüber aber habs jetzt verstanden!! Danke

Answer 2

Ich halte mich nicht an die Vorgabe, per LGS die

Koeffizienten zu bestimmen, sondern nehme sozusagen "außer

Konkurrenz" folgenden "Sonderweg":

Sei \(f\) die gesuchte Funktion zweiten Grades.

Ich betrachte die Funktion \(g(x)=f(x)+3\). Diese hat die beiden

Nullstellen -1 und -2 und es gilt \(g(1)=6\). \(g(x)\) hat dann notwendig

die Gestalt: \(g(x)=a(x+1)(x+2)=a(x^2+3x+2)\).

\(6=g(1)=a(1+3+2)=a\cdot 6\) liefert \(a=1\), also \(g(x)=x^2+3x+2\),

und somit \(f(x)=g(x)-3=x^2+3x-1\).

Answer 3

Eine Parabel \( y=a x^{2}+b x+c \) geht durch die Punkte \( P_{1}(-1 \mid-3), P_{2}(-2 \mid-3) \) und \( P_{3}(1 \mid 3) \).

1.)\( -3=a *(-1)^{2}+b *(-1)+c \)

2.)\(-3=a *(-2)^{2}+b *(-2)+c \)

3.)\( 3=a *1^{2}+b *1+c \)

1.)  \( -3=a -b +c \)

2.)  \(-3=4a -2b +c \)

3.)  \( 3=a +b +c \)

3.)-1.)  \( 6=2b  →  b=3 \)

2.)  \(-3=4a -6 +c  →  3=4a+c \)

1.)  \( -3=a -3 +c →a=-c\)

2.)  \(  3=-4c+c →c=-1\)

1.)  \(a=1\)

\( y=x^{2}+3 x-1 \)