Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems & lineare Unabhängigkeit

Question

Hallo, ich habe Probleme die Lösungsmenge nachzuvollziehen und finde auch keine passenden Videos mit denen ich zur Lösung komme. Ich würde mich freuen wenn es mir jemand anhand dieser Aufgabe erklärt

(I)     2x−8y+8z=32
(II)  −2x+8y−8z=−32
(III) −4x+16y−16z=−64

Mein Ansatz mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus:

1/4  -1   1   | 4
0      0   0   |  0
0      0   0   |  0

Die Lösungsmenge in der Form {\( \vec{u} \) +t\( \vec{v} \) +s\( \vec{w} \)  :t,s∈R} ist nun gegeben durch

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) = ∈ {(\( \begin{pmatrix} 0\\0\\4 \end{pmatrix} \) + t \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-1/4 \end{pmatrix} \) + s\( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \) : t,s ∈ R)}

Ich kann sehen, dass einige Zahlen enthalten sind, die ich bei der Matrix auch habe, aber irgendwie kann ich kein System erkennen, wenn ich das mache was auf youtube oder so erklärt wird, erhalte ich andere Zahlen und das wird mir als "falsch" markiert.

Answer 1

Aloha :)

Ich gehe davon aus, dass deine Lösung des Gleichungssystems korrekt ist, d.h. die habe ich nicht nachgerechnet. Die Lösung besteht aus einer Gleichung, also einer Bedingung, die alle Variablen erfüllen müssen:$$\frac14x-y+z=4$$Stelle diese Forderung nach einer Variablen um, z.B. nach \(z\):$$z=4-\frac14x+y$$und formuliere damit alle möglichen Lösungen:$$\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\4-\frac14x+y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+x\begin{pmatrix}1\\0\\-\frac14\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$Da an \(x\) und \(y\) hinsichtlich der Lösung keine weiteren Forderungen gestellt werden, können sie alle beliebigen Werte aus \(\mathbb R\) annehmen. Daher kannst du sie auch durch andere Variablen, z.B: \(t\) und \(s\) ersetzen.

Answer 2

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ -4 \end{array}\right) \cdot x+\left(\begin{array}{c} -8 \\ 8 \\ 16 \end{array}\right) \cdot y+\left(\begin{array}{c} 8 \\ -8 \\ -16 \end{array}\right) \cdot z=\left(\begin{array}{c} 32 \\ -32 \\ -64 \end{array}\right) \)
\begin{tabular}{lrrr|rr}
I: & 2 & \( -8 \) & 8 & 32 & \( 1-\pi \) \\
II: & \( -2 \) & 8 & \( -8 \) & \( -32 \) & \( 1+I \) \\
III: & \( -4 \) & 16 & \( -16 \) & \( -64 \) & \( 1:-4 \)
\end{tabular}
\( \begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & 4 & 16 \end{array} \)
unterdefinieit ; nicht Lösbar.
Damit ein Gleichnngssystem Lösbar ist muss es genauso viele Gleichengen wie Unbeteannte geben. Alle Gleichungen müssen linear umabhängig saim. Alle Spalten; also Variablen müsson unabhaingig seín.

Comments

Eine Lösung des Gleichungssystems ist z.B. \((x;y;z)=(0;0;4)\).

Answer 3

Du hast 2 freie Variablen, weil nur eine Gleichung übrig bleibt.

Deine Lösung setzt y=s und x=t und bestimmt damit y

Standardmäßig würde man vielleicht y und z als unbestimmte Variablen nehmen, was auf

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{rrr}2&-8&8\\-2&8&-8\\-4&16&-16\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}4 \; t_1 - 4 \; t_2 + 16\\t_1\\t_2\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r}32\\-32\\-64\\\end{array}\right) \right\} \)

führt

Answer 4

Hallo

du hast eine Gleichung mit den Variablen x,y,z, also kansn du 2 frei wählen, die genannte Lösung wohl einmal x=y=0 daraus ergibt sich z=4 und dann x=1,y=0 daraus ergibt sich z=4+1/4  also t=0 s=-1 dann x=0, y=1 folgt z=1+4  also s=0

Du kannst aber natürlich auch andere Lösungen hinschreiben, indem du x,y anders aussuchst, die du aber auch durch geeignete Wahl von s und t aus den gegebenen bekommst.

um zu kontrollieren, ob deine Lösungen richtig sind müsste ich sie sehen .

Gruß lul