Konstruieren Sie die Dezimaldarstellung von \sqrt{5}

Question

Konstruieren Sie die Dezimaldarstellung von $\sqrt{5}$ bis 2 Stellenhinter dem Komma.

Würde jemand mir bei dieser Aufgabe helfen...

Answer 1

Aloha :)

Wir suchen die positive Lösung der Gleichung von $x^2=5$.

Wegen $2^2=4$ und $3^2=9$ wissen wir, dass $2<x<3$ gelten muss.

Wir konstruieren das gesuchte $x$ in einem Iterationsverfahren und starten mit $x_0=2$.

Wenn $x^2=5$ gilt, dann muss auch $x=\frac5x$ gelten. Wir nehmen daher unseren Startwert für $x$, berechnen $\frac5x$, und nehmen dann den Mittelwert der beiden Werte als neuen Wert für $x$.$$x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{5}{x_n}}{2}\quad;\quad x_0=2$$

Das liefert:$$x_0=2$$$$x_1=\frac{2+\frac52}{2}=2,25$$$$x_2=\frac{2,25+\frac{5}{2,25}}{2}=2,236\overline1$$$$x_3=\frac{2,236\overline1+\frac{5}{2,236\overline1}}{2}=2,236067977916\ldots$$

Das ist $\sqrt5$ auf 10 Stellen genau ;)

Answer 2

Ist ziemlich einfach, schau mal hier.