Konstruktion einer bijektiven Abbildung auf das offene Intervall (a,b)

Question

Gegeben sei die Funktion
f : ℝ → ℝ, x → x/(1 + |x|)

Seien a, b ∈ R mit a, b. Konstruieren Sie mit Hilfe von f eine bijektive Abbildung von ℝ
auf das offene Intervall (a, b).

Ich komme einfach nicht darauf, wie so eine Abbildung konstruiert.

Answer 1

Hallo,

Ich komme einfach nicht darauf, wie so eine Abbildung konstruiert.

hast Du Dir schon den Graphen von $$f(x)=\frac x{1+|x|}$$ angeschaut? Der sieht so aus:

~plot~ x/(1+abs(x));[[-4|4|-2.5|3]];-1;1 ~plot~

D.h. der Funktionswert von \(f(x)\) bleibt immer im Intervall \((-1;\,+1)\). Also muss man diesen doch nur auf \((a,\,b)\) skalieren:$$f_{ab}(x) = \frac12(f(x)+1) (b-a) + a \\\phantom{f_{ab}(x)}= \frac 12\left((1-f(x))a + (1+f(x))b\right)$$Gruß Werner

Comments

Wie kommst du auf eigentlich auf das f_ab(x)?

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Wie kommst du auf eigentlich auf das f_ab(x)?

um ehrlich zu sein - rein intuitiv. Dafür habe ich schon zu oft was skaliert. ;-)

Der 'Dienstweg' geht so: Die Skalierung ist eine lineare Funktion, die in diesem Fall \(-1\), \(+1\) auf \(a\), \(b\) abbildet. Oder mit anderen Worten: gesucht ist eine lineare Funktion, die durch die Punkte \((-1,\,a)\) und \((+1,\,b)\) verläuft.

Nach der Punkt-Steigungsform einer linearen Funktion ist dies:$$\phantom{=}\frac{b-a}{+1-(-1)}(f(x) -(-1)) + a \\ = \frac{b-a}{2}(f(x)+1)+a$$und das ist dann auch schon die erste Form von \(f_{ab}\). Und die zweite Form ergibt sich daraus, wenn es so umwandelt, dass \(a\) und \(b\) nur jeweils einmal in dem Term auftauchen.

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Alles klar, vielen Dank!