Konvergiert oder divergiert die reelle Folge?

Question

Aufgabe:

Gegeben seien eine Zahl α∈ℝ und die reelle Folge (a_n)_n∈ℕ mit a_n := α+\( \frac{α}{n} \) für alle n∈ℕ.

Konvergiert oder divergiert die Folge? Beweise!

Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme mit dem α.

Hab überlegt den Grenzwert zu berechnen. Falls die Folge einen hat, ist sie ja dann konvergent.

Ich weiß aber nicht wie ich den Grenzwert hier berechne :(

Answer 1

Aloha :)

Klammere die Konstante \(\alpha\) aus:$$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\alpha+\frac{\alpha}{n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\alpha\cdot\left(1+\frac1n\right)\right)=\alpha\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)=\alpha$$

Comments

Oh man, darauf bin ich ja gar nicht gekommen. Dankeschön.

Also ist der Grenzwert die reelle Zahl α, weshalb die Folge konvergent ist.

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Ja genau, der Grenzwert der Folge ist einfach die Zahl \(\alpha\).