Gleichung hat keine reellen Lösungen

Question

Aufgabe:

Sei $a \in \mathbb{R}$. Zeigen Sie: die Gleichung $z^{2}+2 a z+1=0$ hat genau dann keine reellen Lösungen, wenn $|a|<1$ gilt. Zeigen Sie, dass die Gleichung für $|a|<1$ zwei Lösungen $z, w \in \mathbb{C}$ mit $w=\bar{z}$ und $|z|=|w|=1$ besitzt.

Answer 1

Zum zweiten Teil:

Ist $z$ die eine komplexe Lösung,

so gilt $\overline{z}^2+2a\overline{z}+1=\overline{z^2+2az+1}=\overline{0}=0$, da $a$ reell ist,

d.h. $w:=\overline{z}$ ist die andere.

Damit ist $Z^2+2aZ+1=(Z-z)(Z-w)=Z^2-(z+w)Z+zw$,

also $1=zw=z\overline{z}=\overline{w}w\Rightarrow |z|=|w|=1$.

Answer 2

Den ersten Teil kannst Du mit der Mitternachtsformel zeigen, Diskriminante wird negativ.