Zeige: int(M) ⊂ M ⊂ cl(M)

Question

Aufgabe: Sei (X,τ) ein topologischer Raum und M ⊂ X eine Teilmenge.

Zeige: int(M) ⊂ M ⊂ cl(M)

int(M) ist das innere von M definiert durch:

int(M):= {x∈M:∃O∈τ:x∈O∧O∈M}

cl(M) ist der Abschluss von M:

cl(M):={x∈X:∀O∈τ:x∈O=>O∩M≠∅}

O steht für Offene Menge.

Answer 1

1. \(int(M)\subset M\) ist klar, da \(int(M)\) nach Definition nur aus

Elementen von \(M\) besteht.

2. Sei \(x\in M\). Dann gilt für alle offenen Mengen \(O\) mit \(x\in O\):

\(x\in O\wedge x\in M\), also \(x\in O\cap M\), somit \(O\cap M\neq \emptyset\).

Also haben wir \(M\subset cl(M)\).