Zeige, dass die Teilringe Z[ √{2} ] und Z[i] von R nicht zueinander isomorphsind

Question

Aufgabe:

Zeige, dass die Teilringe ℤ[\( \sqrt{2} \)] und ℤ[i] von ℝ nicht zueinander isomorphsind

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe angenommen Φ = ℤ[\( \sqrt{2} \)] → ℤ[i]

Φ(\( \sqrt{2} \)) * Φ(\( \sqrt{2} \)) = Φ(2) = Φ(1)*Φ(2)

Φ(1) = 1

Φ(2) = Φ(1) + Φ(1) = 2

⇒ Φ(\( \sqrt{2} \)) * Φ(\( \sqrt{2} \)) = 1*2 = 2

ich weiß nicht wie ich weiter rechnen muss. Kann mir jemand helfen ?

Danke im Voraus :)

Comments

Wenn du einen solchen Isomorphismus \( \Phi \) hättest, wäre \( \Phi(n)=n \) für \( n \in \mathbb Z \). Und es gäbe ganze Zahlen x, y mit \( \Phi(\sqrt 2) = x + y \textrm i \). Also

$$ 2 = \Phi(2) = \Phi\left((\sqrt 2)^2\right) = \Phi(\sqrt 2)^2 = (x+ y \textrm i )^2 = x^2 - y^2 + 2xy \textrm i $$

und somit \( x^2-y^2 = 2 \) und \( 2xy = 0 \). Aber das geht nicht

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Hast du vielleicht eine alternative Lösung ?

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\( \# \mathbb Z[i]^* = 4 \neq \infty = \# \mathbb Z[\sqrt 2]^* \)

Genauer:

\( \mathbb Z[i]^* \cong \mathbb Z / 4\mathbb Z \)

\( \mathbb Z[\sqrt 2]^* \cong \mathbb Z / 2\mathbb Z \times \mathbb Z \)