Du musst erst mal zeigen: Das ist ein Ring.
Da es eine Teilmenge des Körpers ℝ ist,
brauchst du nur die Abgeschlossenheit bzgl. der
Addition und Multiplikation, Existenz der
additiven Inversen und die der 0 zu zeigen.
Das einzige, was dabei etwas aufwändiger ist, ist die
Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation, etwa so
Seien a+b√2 und c+d√2 aus ℤ[√2] , dann ist
(a+b√2) *( c+d√2 ) = ac +ad√2 +cb√2 + 2bd
=(ad +cb)√2 +(ac+ 2bd )
und die Klammern sind wieder ganze Zahlen, also das Erg. auch in ℤ[√2].
nullteilerfrei ergibt sich aus (a+b√2) *( c+d√2 ) ==> .... ==> a=b=c=d=0
Die 1 ist 1 +0√2
Und u ist eine Einheit, da (1+√2 )*(√2 - 1 ) = 1
und Potenzen von Einheiten sind immer Einheiten.
