0 Daumen
595 Aufrufe

Ich bin gerade etwas am verzweifeln, denn ich weiß gar nicht wo ich bei diesen Beweis anfangen soll, bzw. was ich alles machen soll. Soll ich den eine. körper beweisen, denn es würde ja mit der Def eines Körpers passen. Und darf man annehmen, das die Gruppe (G,+) schon abelsch ist? Kann man also annehmen, das ein Ring vorliegt?Bild Mathematik

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Du musst erst mal zeigen: Das ist ein Ring.

Da es eine Teilmenge des Körpers ℝ ist,

brauchst du nur die Abgeschlossenheit bzgl. der

Addition und Multiplikation,   Existenz der

additiven Inversen und die der 0 zu zeigen.

Das einzige, was dabei etwas aufwändiger ist, ist die

Abgeschlossenheit bzgl. der  Multiplikation, etwa so

Seien a+b√2   und   c+d√2   aus  ℤ[√2] , dann ist

(a+b√2) *( c+d√2 ) = ac +ad√2 +cb√2 + 2bd

                             =(ad +cb)√2 +(ac+ 2bd )

und die Klammern sind wieder ganze Zahlen, also das Erg. auch in  ℤ[√2].

nullteilerfrei ergibt sich aus (a+b√2) *( c+d√2 ) ==> .... ==> a=b=c=d=0

Die 1 ist   1 +0√2

Und u ist eine Einheit, da (1+√2 )*(√2   - 1  )  = 1

und Potenzen von Einheiten sind immer Einheiten.

Avatar von 287 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

0 Daumen
1 Antwort
0 Daumen
1 Antwort
0 Daumen
1 Antwort

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community