Bestimmen Sie die Gruppe der Einheiten für die Ringe. Welche dieser Gruppen sind zueinander isomorph?

Question

Bestimmen Sie die Gruppe der Einheiten für die Ringe \( \left( \mathcal { R } _ { n } , \oplus , \odot \right) \), wobei 

n = 5, 8, 10, 12 ist. Welche dieser Gruppen sind zueinander isomorph? Begründen Sie Ihre Antwort.

Müsste ich eine Gruppentafel für alle n erstellen? Wie entnehme ich daraus, dass die Gruppen isomorph zu einander sind?

Answer 1

Gruppentafel (Multiplikation)  für die gegebenen Werte wäre wohl sinnvoll.

Da siehst du die Einheiten daran, dass in der entsprechenden

Zeile bzw. Spalte der Gruppentafel eine 1 auftaucht.

z.B. mod 10 siehst du die Einheiten

1     3    7     9  .

Dabei sind 1 und 9 je zu sich selbst invers und

3 zu 7 und 7 zu 3.

Wenn du die Tafel mod 5 aufstellst siehst du die

Einheiten  1 , 2  ,  3  , 4  und wieder

1 und 4 zu sich selbst invers   und 2 und 3 wechselseitig.

Außerdem sind es gleichviele , die Einheitengruppen könnten also

isomorph sein. Da zu wäre ein Isomorphismus    f  von

ℤ₅*  nach  ℤ₁₀*  definiert durch

f(1) = 1    und   f(2)=3    und  f(3)=7    und  f(4) = 9.

bijektiv ist ja sicher und dass es  ein Hom ist zeige:

z.B.  f(2*3) = f(1) = 1   und

          f(2) * f(3) = 3*7  = 1  (wegen mod 10 ).

etc.