Bestimmung einer Matrix durch Vektoren

Question

Seien u :=\( \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \), v:= \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \), w:= \( \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \), u':= \( \begin{pmatrix} 1\\1\\2 \end{pmatrix} \), v':= \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \), w':= \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \).

Es gibt eine Matrix A ∈ M_3,3(ℝ) mit f_A(u) := u', f_A(v) := v', f_A(w):= w'. Erkläre genau, wie man A aus den gegebenen Angaben herleiten kann.

Mein Ansatz wäre gewesen, mit der Dreieckstufenform zu arbeiten aber damit komme ich nicht weiter, ich wäre dankbar für Hilfe.

Answer 1

Es gibt eine Matrix A ∈ M_3,3(ℝ)

\(A = \begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{pmatrix}\)

mit f_A(u) := u', f_A(v) := v', f_A(w):= w'

\(\begin{aligned}\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\end{aligned}\)

Das kann in ein lineares Glecihungssystem mit neun Gleichungen und 9 Variablen umgewandelt werden.

Comments

Vielen Dank!!