0 Daumen
947 Aufrufe

Aufgabe:

Wir betrachten in dieser Aufgabe den folgenden Ausdruck

x=c+c+c+, x=\sqrt{\mathcal{c}+\sqrt{\mathcal{c}+\sqrt{c+\cdots}}}, \quad wobei c>0 c>0

(a) Konstruieren Sie eine rekursiv definierte Folge (xn), die das Verhalten des Terms beschreiben.
(b) Zeigen Sie, dass x element R gilt, dass also die Folge (xn) aus Teil (a) tatsächlich konvergiert und
bestimmen Sie den Grenzwert.
Problem/Ansatz:

Hey, ich scheitere gerade an dieser Aufgabe, an sich dachte, dass die Aufgabe ganz leicht wird, aber ich komme zu nichts, ich wäre für Hilfe sehr sehr dankbar.
mfg Sandra

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Folge : an=c+an1,a0=0,an>=0fu¨rallenGrenzwert : an=an2=an2an1+an1darausfolgt : limnan2an1=climnan2an1c=0seilimnan=L,danngilt : L2Lc=0Lo¨sungL1=12(1+1+4c)Lo¨sungL2=12(11+4c)wegenL2<0istL1derGrenzwertderFolge. Folge:\\ a_{n} = \sqrt{c + a_{n-1}}, \quad a_{0} = 0, \quad a_{n} >= 0 \quad für \quad alle \quad n \\ Grenzwert: \\ a_{n} = \sqrt{a_{n}^2} = \sqrt{a_{n}^2 - a_{n-1} + a_{n-1}} \\ daraus \quad folgt:\\ \lim\limits_{n\to\infty}a_{n}^2 - a_{n-1} = c \\ \lim\limits_{n\to\infty}a_{n}^2 - a_{n-1} - c = 0 \\ sei \lim\limits_{n\to\infty}a_{n} = L, \quad dann \quad gilt:\\ L^2 - L -c = 0 \\ Lösung \quad L1 = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1+4c}) \\ Lösung \quad L2 = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1+4c})\\ wegen \quad L2 < 0 \quad ist \quad L1 \quad der \quad Grenzwert \quad der \quad Folge.

Avatar von 3,4 k
sei limnan=L\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L, dann ...

Um den Grenzwert auf diese Weise berechnen zu können, muss zunächst dessen Existenz nachgewiesen werden. Leider gehst du darauf mit keinem Wort ein.

0 Daumen

Es geht los mit a1=ca_1=\red{\sqrt{c}}.

Das zweite Folgenglied ist a2=c+ca_2=\sqrt{c+\red{\sqrt{c}}}.

Drücke das zweite Folgenglied anders aus, indem du statt c\red{\sqrt{c}} einfach a1a_1 hinschreibst.

So wie die jetzt a2a_2 durch a1a_1 ausgedrückt hast, kannst du an+1a_{n+1} durch ana_n ausdrücken.

Avatar von 56 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage