Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Familie mindestens einen Jungen hat?

Question

Es sollen Familien mit zwei Kindern hinsichtlich der Geschlechterkombinationen der zwei Kinder untersucht werden. Man nimmt an, dass ein Kind jeweils mit Wahrscheinlichkeit \( \frac{1}{2} \) ein Mädchen oder ein Junge ist.

a) Man wählt zufällig eine Familie mit zwei Kindern aus. Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum \( (\Omega, \mathcal{A}, P) \) für dieses Zufallsexperiment an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Familie mindestens einen Jungen hat?

Im Folgenden werden nur Familien mit zwei Kindern betrachtet, von denen mindestens eines ein Junge ist.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch das zweite Kind ein Junge ist?

Nun besucht man eine der Familien. Die Tür wird von einem Jungen geöffnet.
c) Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass auch das zweite Kind ein Junge ist? Überlegen Sie zuerst, inwiefern sich die Ergebnismenge im Vergleich zu den vorangegangenen Teilaufgaben vergrößert und geben Sie diese an.

Answer 1

a)

Ω = {ω = (ω1,ω2) : ω_n ∈{M,J}

A1 = {ω ∈ Ω : ω1 = J, ω2 = J}

A2 = {ω ∈ Ω : ω1 = J, ω2 = M}

A3 = {ω ∈ Ω : ω1 = M, ω2 = J}

A4 = {ω ∈ Ω : ω1 = M, ω2 = M}

p(A1) = p(A2) = p(A3) = p(A4) = 1/4 = 0.25

p(mindestens ein J) = p(A1) + p(A2) + p(A3) = 0.75

b)

p(A1, unter der Bedingung mindestens ein J) = 0.25/0.75 = 1/3

c)

Ereignismenge E={A1,A2}, p(ω2 = J) = 1/2