Finden Sie i R mit der Metrik d(x,y) =| arctan(x) - arctan(y) | eine abgeschlossene und beschränkte Menge, die nicht …

Question

Aufgabe: Finden Sie i R mit der Metrik d(x,y) =| arctan(x) - arctan(y) | eine abgeschlossene und beschränkte Menge, die nicht kompakt ist.

Problem/Ansatz: Mir ist hier nicht klar, wie ich mit diesem Betrag umgehen soll um dass zu zeigen.

Answer 1

Idee:

Die abgeschlossene Kugel

\(K_{\pi/2}(0)=\{x\in\mathbb{R}:\; |\arctan(x)-\arctan(0)|\leq \pi/2\}=\mathbb{R}\)

ist abgeschlossen und beschränkt, aber nicht kompakt.