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Die Aufgabe lautet: Welche der folgenden Mengen sind offen, abgeschlossen, beschränkt oder kompakt?

(a) {(x,y) : 5x + 8y = 8}

(b) {(x,y) : 2x + 5y ≥ 6}

Ich wäre froh um eine Erklärung. Wieso z.B. (b) abgeschlossen ist (laut meinen Lösungen), für mich wäre "offen" logischer...
von

1 Antwort

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Ich gehe davon aus, dass x,y reell sein sollen. Betrachte die stetigen (!) Abb. $$f:\mathbb R^2 \to \mathbb R, \quad (x,y) \mapsto 5x+8y$$ und $$f:\mathbb R^2 \to \mathbb R, \quad (x,y) \mapsto 2x+5y$$. Die Menge aus a) ist gleich mit $$f^{-1}(8)$$. Da dieMmenge {8] abgeschlossen ist, ist die Menge in a) abgeschlossen, als Urbild einer abgschlossenen Menge unter einer stetigen Abb. Die Menge in b) ist gleich $$g^{-1}([8, \infty]) $$ und damit wieder abgeschlossen als Urbild einer abgeschlossen Menge. Beschränkt sind beide Mengen nicht.
von 1,1 k
 Doch wieso ist denn 5x + 8y = 8 nicht beschränkt?
Weil es eine Gerade ist.

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