Beschränkte, abgeschlossene Menge X. // f(x) - f(y)// kleiner als // x-y // Zeigen: Es gibt ein x0 aus X mit f(x0)=x0

Question

Sei X eine beschränkte und abgeschlossene Teilmenge von R^n und sei f:X bis X eine Abbildung , für die gilt : Sind x ,

y aus X mit x ungleich y , so ist

// f(x) - f(y)// kleiner als // x-y //

Zeigen: Es gibt ein x0 aus X mit f(x0)=x0

Comments

Von hier aus auf diese Frage gestoßen: Zählt es auch schon als "keinen Sinn machen", wenn die zu zeigende Aussage falsch ist? Einfachstes (nichttriviales*) Gegenbeispiel: X sei die Menge aller Vektoren mit Norm in [1,2] (also symmetrisch, enthalte aber die Null nicht); f die Abbildung, die x auf -x abbildet.

* mit X als leerer Menge hätte man auch sofort ein Gegenbeispiel.

---

Ist in diesem Gegenbeispiel nicht die Forderung || f(x) - f(y) || < || x - y || verletzt?

---

Ah, da habe ich das typische "kleiner gleich" vermutet. Dann kann man noch zu X = ∅ greifen :D

---

Deine Rettung. Die leere Menge ist also kompakt?

---

Zählt es auch schon als "keinen Sinn machen", wenn die zu zeigende Aussage falsch ist? 

@Ché: Es gibt hier ab und zu Leute, die 'beweise: A' schreiben, wenn ihre Aufgabe ist zu begründen, ob A richtig oder falsch ist. Nach 2 Monaten kann man den Fragesteller wohl nicht mehr fragen, was er eigentlich braucht. Aber ein Gegenbeispiel als Antwort ist bestimmt auch heute noch willkommen.

---

Die leere Menge ist tatsächlich kompakt.

Wenn wir zusätzlich X ≠ ∅ fordern, erscheint mir die Aussage plausibel.

---

@Mister: Kannst du sie denn beweisen?

---

Ja, klar. Willste sehen?

Answer 1

es handelt sich offenbar um eine Formulierung des Banachschen Fixpunktsatzes.

Die Bedingung

|| f(x) - f(y) || < || x - y || für alle x ≠ y impliziert die Stetigkeit von f.

Aus der Abgeschlossenheit von X folgt ∃c < 1: || f(x) - f(y) || ≤ c || x - y || für alle x, y ∈ X (Lipschitz-Stetigkeit).

Ab dieser Stelle orientiere ich mich an einem Beweis in *:

Man wähle die Folge x_(i+1) = f(x_i) mit einem x_0 ∈ X. Es gilt nun

|| x_(i+2) - x_(i+1) || = || f(x_(i+1)) - f(x_i) || ≤ c || x_(i+1) - x_i || für alle i = 0, 1, 2....

Das heißt auch

|| x_(k+1) - x_k || <= c^{k} || x_1 - x_0 ||.

Dies impliziert die Cauchyfolgen-Eigenschaft von {x_i}, da c^i → 0 für i → ∞. Die Abgeschlossen der Menge X bedeutet, dass der Grenzwert x der Folge {x_i} in X liegt.

x = lim x_i = lim f(x_(i-1)) = f(lim(x_(i-1)). Die letzte Umformung ermöglicht sich wegen der Stetigkeit von f und man erhält:

x = ... = f(x). Somit ist x ein Fixpunkt von f. q.e.d.

Dieser Fixpunkt ist übrigens auch eindeutig (siehe besagte Quelle).

MfG

Mister

*Quelle: http://www.analysis.uni-hannover.de/~schrohe/Analysis/script12.pdf

Comments

Wieso es ein solches c<1 gibt, solltest du noch etwas ausführlicher verraten. Abgeschlossenheit des Definitionsbereiches genügt dazu nicht.

Und auch, wieso (x_i) eine Cauchy-Folge sein soll, hast du nicht ausreichend bewiesen.

---

Naja,

wenn || f(x) - f(y) || < || x - y || für alle x ≠ y auf der abgeschlossenen Menge X gilt heißt das, dass es (x, y) in X gibt, für die beschränkte Funktion || f(x) - f(y) || / || x - y || < 1 maximal wird. c ergibt sich dann aus

c = max( || f(x) - f(y) || / || x - y || ) + ε

mit einem nicht verschwindenden und geeigneten ε. Daraus folgt

|| f(x) - f(y) || <= c || x - y ||, genau genommen kann man "<=" sogar durch "<" ersetzen, sofern man ε genügend klein wählt.

Cauchy-Folge heißt, dass sich die Folgenglieder beliebig nahe kommeń:

|| x_(k+1) - x_k || <= c^k || x_1 - x_0 || = c^k * const..

Dies ist in der Formel dadurch gegeben, dass c < 1 ist und daher c^i --> 0, i --> unendlich gilt.

MfG

Mister

---

PS: Ist doch logisch, oder? Mit anderen Worten: Die Abgeschlossenheit zusammen mit der Kontraktionseigenschaft genügt für die Existenz eines c < 1.

---

Wie begründest du, dass es (x,y) in X² gibt, so dass || f(x)-f(y) || / || x-y || maximal wird? Die Funktion ist ja nicht auf ganz X² wohldefiniert, d.h. man hat keine stetige Funktion auf einem Kompaktum.

Und dass die Norm von x_k+1 - x_k beliebig klein wird, heißt noch lange nicht, dass (x_k) eine Cauchy-Folge ist. Betrachte die Partialsummenfolge der harmonischen Reihe.

---

Nichtsdestotrotz ist sie aber beschränkt. || f(x)-f(y) || / || x-y || ist zwar nicht definiert bei {(z, z) in X^2}. Sie ist aber für die Menge aller Punkte, die beliebig nahe an der Raumdiagonalen liegen, {(x, y) in X^2, x ≠ y} beschränkt. Ergo würde ich sagen, dass die Eigenschaft der Beschränktheit sich auf die Diagonale fortsetzen lässt. Im Zweifelsfall definiert man die Funktion auch auf der Diagonale als konstant 1. Sie soll ja nur beschränkt sein.

Stimmt, es gilt vielmehr die folgende Relation

|| x_m - x_k || = || x_m - x_(m-1) || + ... + || x_(k+1) - x_k ||

<= (c^{m-1} + ... + c^k) || x_1 - x_0 ||

= ((c^k - c^m) / (1 - c)) || x_1 - x_0 || <= (c^k / (1 - c)) * || x_1 - x_0 || ---> 0 für k ---> unendlich.

Die Eigenschaft für benachbarte Folgenglieder vererbt sich in diesem Fall für weiter voneinander entfernte Folgenglied und das Cauchy'sche Konvergenzkriterium ist erfüllt.

---

Die Funktion soll ja aber beschränkt durch eine Konstante kleiner Eins sein.

---

Stimmt, dann sagen wir, definieren wir sie auf der Diagonale als 0.

---

Und dann?
Du weißt nur, dass sie dann punktweise kleiner als Eins ist, aber nicht, dass sie punktweise kleiner gleich einem c<1 ist. Das müsstest du noch zeigen.

---

Na doch. Jetzt, wo wir die Diagonale wegdiskutiert haben, gilt wieder die alte Argumentation. Sie nimmt ihr Maximum bei c < 1 an.

---

Wieso sollte die Funktion ihr Supremum als Maximum annehmen? Sie ist zwar auf dem Kompaktum X² definiert, muss aber nicht stetig sein.

---

Dass sie punktweise kleiner gleich einem c < 1 ist, folgt doch direkt aus der Aussage, dass sie punktweise echt kleiner 1 ist. Die Schärfe der Ungleichung ... <= c ... ist doch für die Aussage völlig unerheblich.

---

Betrachte mal die Funktion auf [0,1], die auf [0,1) die Identität ist, in 1 aber den Wert Null annimmt. Die ist auch punktweise echt kleiner als Eins aber nicht kleiner einer Konstanten c<1.

---

Dann definieren wir die Funktion nur auf einer Seite der Diagonalen und setzen sie stetig auf die Diagonale fort. Sie lebt dann auf einem Kompaktum. Die Frage ist, welchen Wert sie auf der Diagonale annehmen muss, um stetig fortgesetzt zu sein. Ist dieser Wert 1, sind wir wieder am Anfang.

---

Eine "Seite" der Diagonalen? Naja, egal... Eine stetige Fortsetzung auf die Diagonale muss es nicht geben.

Betrachte x/2 auf [0,1] und x/3 auf [-1,0]. In jeder Umgebung des Nullpunktes nimmt die entsprechende Funktion auf [-1,1]² die Werte 1/2 und 1/3 an.

---

Und um weitere Raterei zu vermeiden: Betrachte auch den Arcustangens auf [0,1]. Du kannst dir überlegen, dass der die gestellten Voraussetzungen erfüllt, aber nicht deine mit dem c<1.

---

Das heißt, entweder muss die Voraussetzung

"// f(x) - f(y)// kleiner als // x-y //"

zu

|| f(x) - f(y) || <= c || x - y || mit einem c < 1

geändert werden oder die Aussage ist falsch. Die Aussage kommt mir vor, als stamme sie aus der Numerik oder Optimierung, wo man einen Sachverhalt vermutlich einfacher darstellen wollte.

Das vorletzte Gegenbeispiel musst du näher erläutern.

---

Für x,y > 0, x≠y, gilt mit beschriebenem f die Gleichung | f(x)-f(y) | / | x-y | = 1/2.
Für x,y < 0, x≠y, gilt mit beschriebenem f die Gleichung | f(x)-f(y) | / | x-y | = 1/3.

Insbesondere existiert kein Grenzwert, wenn man (x,y) gegen (0,0) laufen lässt.

Die Aussage ist unter der Annahme, dass X nichtleer ist, durchaus richtig, auch wenn man sie nicht auf den Banachschen Fixpunktsatz zurückführen kann. Ihr Beweis ist sogar noch ein wenig einfacher.

---

Dann tu dir bitte, bitte keinen Zwang an!

---

Ich denke nicht, dass sich der Fragesteller jetzt noch für eine Antwort interessieren würde oder sie überhaupt noch lesen würde.

Wenn du die Aufgabe zur Übung noch lösen möchtest, konstruiere dir wie im Banachschen Fixpunktsatz eine rekursiv definierte Folge. Hier kannst du aber die Kompaktheit des Definitionsbereiches ausnutzen.

---

Ich denke die Anzahl der Interessenten ist trotz alledem > 0 (und ∈ ℕ).

Wenn das c = 1 ist, bzw. || f(x) - f(y) || < || x - y || ist, so gibt es meiner Meinung nach fixpunktlose f, die die Bedingung erfüllen. Die Folge x_(i+1) - x_(i) könnte zum Beispiel eine Nicht-Nullfolge sein, deren Norm sich einem Wert x nähert, die allerdings in beliebiger Näher zu der Sphäre mit dem Radius x nicht lokalisierbar ist. Dann hat sie auch keinen Fixpunkt. Ich glaube, dein allererstgenanntes Gegenbeispiel beruhte auf diesem Prinzip.

---

Wie gesagt: Ein f auf nichtleerem, kompaktem X⊂ℝ^n mit || f(x)-f(y) || < || x-y || für x≠y in X hat einen Fixpunkt. Du kannst auch gerne einen neuen Beweis versuchen. Beachte aber, dass du die Aussage nicht auf den Banachschen Fixpunktsatz zurückführen kannst.

Was du mit Lokalisierbarkeit und Sphären mit dem Radius x sagen möchtest, ist mir unverständlich...