Matrix transponieren und multiplizieren

Question

Text erkannt:

(a) \( A \cdot B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ccc}5 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & 1\end{array}\right) \)
b) \( B^{\top} \cdot A^{\top}=\left(\begin{array}{cc}5 & -1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4 & -1 & 5 \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) \)

Aufgabe:

Problem/Ansatz

Wieso die Zahlen von Zeilen von AB Matrix mit den Zahlen von A transponiert mal B transponiert übereinstimmt? Oder was bedeutet das? Oder ist es ein Zufall? :)

Answer 1

Aloha :)

Für \(A\in\mathbb K^{l\times m}\) und \(B\in\mathbb K^{m\times n}\) gilt \(AB\in\mathbb K^{l\times n}\) bzw. \((AB)^T\in\mathbb K^{n\times l}\). Wir betrachten das Element \((AB)^T_{ik}\) der transponierten Produktmatrix mit \(i=1,\ldots,n\) und \(k=1,\ldots,l\):$$(AB)^T_{ik}=(AB)_{ki}=\sum\limits_{j=1}^m a_{kj}b_{ji}=\sum\limits_{j=1}^m b_{ji}a_{kj}=\sum\limits_{j=1}^m (B^T)_{ij}(A^T)_{jk}=(B^TA^T)_{ik}$$Es gilt also allgemein: \(\quad(A\cdot B)^T=B^T\cdot A^T\)

Das ist also kein Zufall. In (b) berechnest du \(B^T\cdot A^T=(AB)^T\) und erhältst als Ergebnis die Transponierte des Ergebnisses von (a).