Handelt es sich bei Größe um einen Tensor

Question

Aufgabe:

Seien φ und η Tensoren 0. Stufe und {x_i} und {y_i} Tensoren 1. Stufe in zwei Dimensionen.

Wir setzen aus φ, η, {xi} und {yi} weitere Größen zusammen, die, wenn sie der gleichen orthogonalen Basistransformation folgen, ebenfalls kartesische Tensoren sind.

Untersuchen Sie, ob folgende Größen kartesische Tensoren sind:

c) c ≡ x₁y₁ + x₂y₂,
d) {d_i} mit d₁ ≡ φ und d₂ ≡ η,
e) {e_i} mit e₁ ≡ x₂ und e₂ ≡ x₁,
f) {f_i} mit f₁ ≡ x₁³ + x₁x₂² und f₂ ≡ x₁²x₂ + x₂³

Problem/Ansatz:

Ich bin mir bei der Lösung dieser drei Aufgaben unsicher und wollte fragen, ob mein Gedankengang richtig ist.

Ich würde für Aufgabe e) jetzt sagen: e₁' ≡ x₂' = L₂₁x₁ + L₂₂x₂ =  L₂₁e₂ + L₂₂e₁ != L₁₁e₁ + L₁₂e₂  dabei beide Seiten nicht gleich sind, handelt es sich nicht um einen Tensor.

Außerdem wurde in der Aufgabe von der Verjüngung eines Tensorprodukts gesprochen und ich habe noch nicht herausfinden können was dies sein soll.