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Aufgabe:

Zeigen Sie für \( a \in(1,+\infty) \), dass die Folge \( \left\{a_{n}\right\}_{n} \subset \mathbb{Q} \) mit den Gliedern

\( a_{1}=a, \quad a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{a}{a_{n}}\right), n \in \mathbb{N} \),

monoton konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.

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Aloha :)

$$x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)\quad;\quad x_1=a>1$$In jedem neuen Folgenglied wird der Mittelwert von \(x_n\) und \(\frac{a}{x_n}\) gebildet. Daher nähern sich beide Werte immer weiter an, bis sie im Grenzwert gleich sind: \((x=\frac ax)\) bzw. \((x^2=a)\). Daher vermuten wir als Grenzwert \(x=\sqrt a\).

Beschränktheit

Für zwei nicht negative Zahlen \(c,d\ge0\) gilt allgemein:$$0\le(\sqrt c-\sqrt d)^2=c-2\sqrt{cd}+d\implies\sqrt{cd}\le\frac{c+d}{2}\quad\leadsto$$$$x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{a}{x_n}}{2}\ge\sqrt{x_n\cdot\frac{a}{x_n}}=\sqrt a$$Da insbesondere \(x_1=a>1\) ist auch \(x_1>\sqrt{a}\).

Daher ist die Folge \((x_n)\) durch \(\sqrt a\) nach unten beschränkt:\(\quad x_n\ge\sqrt a\)

Monotonie

Wegen \((x_n\ge \sqrt a)\) ist \((x_n^2\ge a)\) bzw. \((a-x_n^2\le0)\), sodass:$$x_{n+1}-x_n=\frac12\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)-x_n=\frac{a}{2x_n}-\frac{x_n}{2}=\frac{a-x_n^2}{2x_n}\le0\implies x_{n+1}\le x_n$$

Die Folge \((x_n)\) ist also monoton fallend und daher auch durch \(x_1=a\) nach oben beschränkt.

Grenzwert

Jede beschränkte monotone Folge konvergiert. Daher existiert der Grenzwert \(x\) der betrachten Folge. Wir bestimmen ihn wie folgt:$$x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)\quad\bigg|\lim\limits_{n\to\infty}(\cdots)$$$$\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}=\frac12\left(\lim\limits_{n\to\infty} x_n+\frac{a}{\lim\limits_{n\to\infty} x_n}\right)\quad\bigg|x\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}$$$$x=\frac12\left(x+\frac ax\right)=\frac x2+\frac{a}{2x}\quad\big|-\frac x2$$$$\frac x2=\frac{a}{2x}\quad\big|\cdot2x$$$$x^2=a\quad\big|\sqrt{\cdots}$$$$x=\pm\sqrt a$$Wegen \((x_n\ge\sqrt a)\) kommt nur der positive Wert als Grenzwert in Betracht:$$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\sqrt a$$

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