Aloha :)
Gegeben ist uns folgende Funktion \(F\) und ein Ankerpunkt \(\vec a\)$$F(x;y)=5x^2+4xy+10y\quad;\quad \vec a=\binom{1}{5}$$Das aktuelle Niveau ist:\(\quad F(\vec a)=75\)
zu a) Wenn sich \(y_a\) um \(0,15\) auf \(5,15\) erhöht und das Niveau beibehalten werden soll, bedeutet das für \(x_a\):$$75=5x_a^2+4x_a\cdot5,15+10\cdot5,15\quad\big|\text{alles auf eine Seite bringen}$$$$5x_a^2+20,6x_a-23,5=0\quad\big|\colon5$$$$x_a^2+4,12x_a-4,7=0\quad\big|\text{pq-Formel}$$$$x_a=-2,06\pm\sqrt{2,06^2+4,7}\approx\left\{\begin{array}{r}+0,930585\\-5,050585\end{array}\right.$$Hier kommt nur die positive Lösung in Betracht, also: \(\quad x_a\approx0,930585\)
Die gesuchte exakte Änderung ist daher:\(\quad\Delta x\approx0,930585-1=\boxed{-0,069415}\)
zu b) Die approxmative Änderung erhalten wir mit dem totalen Differential \(dF\), das gleich Null sein muss, da sich das Niveau \(F(\vec a)=75\) ja nicht ändern soll:$$0\stackrel!=dF=\frac{\partial F}{\partial x}(1;5)\,dx+\frac{\partial F}{\partial y}(1;5)\,dy=(10x+4y)\big|_{(1;5)}\,dx+(4x+10)\big|_{(1;5)}\,dy$$$$0=30\,dx+14\,dy\implies30\,dx=-14\,dy\implies dx=-\frac{7}{15}\,dy$$Wegen \(dy=0,15\) heißt das für \(dx\):$$dx=-\frac{7}{15}\cdot0,15=\boxed{-0,07}$$
Das kommt dem exakten Wert von Teil a) schon recht nahe.
