Aloha :)
Zur Optimierung des Kostenfunktion \(c(x;y)\) unter einer konstanten Nebenbedinung \(f(x;y)\)$$c(x;y)=63x+77y\quad;\quad f(x;y)=10x^2+62xy+10y^2\stackrel!=7424=\text{const}$$kannst du das Lagrange-Kriterium nutzen. Demnach ist in einem Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller konstanten Nebenbedingungen. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, heißt das:$$\operatorname{grad}c(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}f(x;y)\implies\binom{63}{77}=\lambda\binom{20x+62y}{62x+20y}$$
Um den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) loszuwerden, divdieren wir die Gleichung der ersten Koordinate durch diejenige der zweiten Koordinate:$$\frac{63}{77}=\frac{\lambda(20x+62y)}{\lambda(62x+20y)}\implies\frac{9}{11}=\frac{10x+31y}{31x+10y}\implies9(31x+10y)=11(10x+31y)$$$$\implies279x+90y=110x+341y\implies169x=251y\implies \underline{\underline{y=\frac{169}{251}\cdot x}}$$
Damit ist das Optimierungsproblem gelöst und wir können die Fragen beantworten.
a. Bei welcher Menge von \(x_{1}\) werden bei einem Output von 7424 ME die Kosten minimal?
Dazu setzen wir die Lagrange-Bedingung in die konstante Nebenbedingung ein:$$7424=10x^2+62x\cdot\frac{169}{251}\,x+10\left(\frac{169}{251}\,x\right)^2=\frac{3\,545\,598}{63\,001}\,x^2\implies$$$$x=\sqrt{\frac{7424\cdot63\,001}{3\,545\,598}}\implies\boxed{x\approx11,48544843}$$Die negative Lösung (Wurzelziehen!) fällt weg, da es keine negativen Produktionsmengen gibt.
b. Bei welcher Menge von \( x_{2} \) werden bei einem Output von 7424 ME die Kosten minimal?
Dazu setzen wir das in (a) bestimmte \(x\) in die Lagrange-Bedingung ein:$$y=\frac{169}{251}\cdot11,48544843\implies \boxed{y\approx7,73323022}$$
c. Welchen Wert hat der Lagrange-Multiplikator \( \lambda \) im Kostenminimum?
Da wir nun \(x\) und \(y\) im Optimum kennen, wählen wir die erste Koordinatengleichung der Gradienten-Bedingung, um \(\lambda\) zu bestimmen:$$63=\lambda(20x+62y)\implies\lambda=\frac{63}{20x+62y}\implies \boxed{\lambda\approx0,08883634}$$
d. Wie lautet das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis der beiden Produktionsfaktoren \( x_{1} \) und \( x_{2} ? \)
Das folgt direkt aus der Lagrange-Bedingung:$$\frac yx=\frac{169}{251}\quad\text{oder}\quad\frac xy=\frac{251}{169}$$Ich weiß nicht genau, welches dieser beiden Verhältnisse gesucht ist, deswegen habe ich keins als Ergebnis eingerahmt. Da musst du mal in deine Vorlesung gucken, wie ihr das vereinbart habt.
