K sei ein Körper und V ein K-Vektorraum mit Dimension n < ∞. Sei F∈ End(V). Zeigen sie Äquivalenz der Aussagen.

Question

Aufgabe:

K sei ein Körper und V ein K-Vektorraum mit Dimension n < ∞.

Sei F∈ End(V). Zeisen sie Äquvalenz der Aussagen:

1 F hat einen zyklischen Vektor.

2 Ist G ∈ End (V) mit FG =GF, so gilt: f∈K[x] mit G = f(F).

Zeigen Sie mit Hilfe obiger Äquivalenz, dass F einen zyklischen Vektor hat, wenn F²
einen zyklischen Vektor hat. Beweisen oder widerlegen Sie die Umkehrung.