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Sei K ein Körper mit  #K = q ∈ ℕ Elementen und sei V ein K-Vektorraum der Dimension

n ∈ ℕ.

a) Bestimmen Sie die Mächtigkeit von V in Abhängigkeit von q und n.

b) Wie viele Untervektorräume der Dimension 0 gibt es in V?

c) Wie viele Untervektorräume der Dimension 1 gibt es in V?

d) Wie viele Untervektorräume der Dimension m ∈ ℕ0 mit m ≥ n gibt es in V? Und wie viele mit m < n?


Bitte helft mir. Keine Ahnung wie die Lösung aussieht.
!! :)
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Sei K ein Körper mit  #K = q ∈ ℕ Elementen und sei V ein K-Vektorraum der Dimension

n ∈ ℕ.

a) Bestimmen Sie die Mächtigkeit von V in Abhängigkeit von q und n.

hat also n Basisvektoren b1,b2...,  bn, durch die man eindeutig alle Elemente von V in der Form

q1*b1+q2*b2+....qn*bn darstellen kann. Also ist die Anzahl genausogroß wie die

Anzahl der n-Tupel von den q's und das wäre  q^n .


b) Wie viele Untervektorräume der Dimension 0 gibt es in V?

gibts immer nur einen, den mit der Null

c) Wie viele Untervektorräume der Dimension 1 gibt es in V?

so viele, wie es von 0 verschiedene vektoren gibt. Das wären q^n - 1

d) Wie viele Untervektorräume der Dimension m ∈ ℕ0 mit m ≥ n gibt es in V?

nur einen, nämlich V   dim > n geht gar nicht.


Und wie viele mit m < n?

m=0, 1 s.o.

m=2 musst du überlegen jede Basis eine 2-dim Unterraumes kannst du zu einer Basis von V ergänzen.

also nimmst du aller 2-elementigen Teilmengen der Bais aus Teil a),

das sind n(n-1) / 2

usw.

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