Zeigen Sie mit Hilfe von l'hospital

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass:

$$\lim\limits_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n})^{n*ln(2)} = \frac{1}{2}$$

Benutzen Sie dazu l'Hospital und x^a= exp(a*ln(x)).

Problem/Ansatz:

Um l'Hospital zu benutzen müsste man ja erstmal auf einen Bruch kommen, aber leider komme ich nicht bis dahin. Ich hab zuerst das mit der x^a benutzt, aber da kommt man ja auch nicht weiter. Würde mich über einen Tipp freuen, wie man das exp dann wegbekommen kann. :)

Comments

Hab die Aufgabe gelöst :)

Answer 1

Das brauch man gar nicht mit l'Hospital zuumachen, sondern nur wissen, dass $$ \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \to e^{-1} $$ gilt.

Denn dann folgt

$$ \lim_{n\to\infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n \cdot \ln(2)} = e^{-\ln(2)} = \frac{1}{2} $$