Beweise Sie, dass f in (0,0) nicht stetig ist.

Question

Sei f: ℝ² → ℝ gegeben durch

f(x₁,x₂) = { a * e ^-a , x₁ ≠ 0

                  0          , x₁ = 0

Dabei ist a = \( \frac{|x_2|}{x_1^2} \)

(a) Beweise Sie, dass f in (0,0) nicht stetig ist.

(b) Beweisen Sie, dass die Einschränkung f |_G von f auf jede Gerade G ⊆ ℝ² durch den Koordinatenursprung (0,0) stetig ist.

Answer 1

Bewege dich auf der Normalparabel gegen den Nullpunkt.

Dann ist f(x,x^2) = |x^2|/x^2 * e^( -|x^2|/x^2)

und das ist für x≠0 immer gleich e^(-1) , hat also auch

für x gegen 0 den Grenzwert e^(-1) ≠ f(0,0) .

Also nicht stetig in (0,0).