Zeigen Sie, dass es eine Matrix A ∈ GLn(ℝ) gibt, so dass A · D ≠ D · A.

Question

Aufgabe:

Sei n ∈ N mit n ≥ 2.
Sei D ∈ GL_n(ℝ) eine Diagonalmatrix. Angenommen D habe zwei verschiedene
Diagonaleinträge. Zeigen Sie, dass es eine Matrix A ∈ GL_n(ℝ) gibt, so dass A · D ≠ D · A.

Problem/Ansatz:

Hat jemand eine Idee wie man das macht?

Answer 1

Es sei \(D_{ii}\neq D_{jj}\) und \(P_{ij}\) sei die Permutations-Matrix, deren

Multiiplikation von links mit einer beliebigen Matrix deren i-te und j-te

Zeile vertauscht.

Dann gilt \((P_{ij}D(P_{ij})^{-1})_{ii}=D_{jj}\neq D_{ii}\).