Berechne sin(α+β); sin(α-β); cos(α+β); cos(α-β). sinα=0,60 sinβ=0,28

Question

sinα=0,60

sinβ=0,28

Beachte, dass es für α und β verschiedene Möglichkeiten gibt.

Comments

sinα=60  kann nicht sein.

Answer 1

Additionsthereme sind hierfuer wichtig:

sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b) und cos(a±b)=cos(a)cos(b)∓sin(a)sin(b). sin²(a)+cos²(a)=1 darf auch nicht fehlen. 

Logik: Ueberall wo cos(x) steht durch ±(1-sin²(x))^1/2  einsetzen, weil sin(x) bekannt ist (fuer x=a,b). 

cos(x)=±(1-sin²(x))^1/2 das ± liegt daran, dass wir nicht wissen im welchem quadrant wir uns befinden. Ich denke, dass "Beachte, dass es für a und b verschiedene Moeglichkeiten gibt" damit gemeint ist. weil sin(a)=0,60 kann in den oberen Halbkreis erfuellt werden (2 quadrante wo der cosinus sein vorzeichen wechselt) daher werde ich zwischen Klammern ein ± Zeichen schreiben.

Beachte, dass die (±) zeichen unabhaengig von einander sind, also ++/  -- / +- / -+ Kombinationen sind moeglich)

also

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)=(±)sin(a)(1-sin²(b))^1/2 (±)(1-sin²(a))^1/2 sin(b)  (4 moeglichkeiten)

sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)=(±)sin(a)(1-sin²(b))^1/2 (±)(1-sin²(a))^1/2 sin(b) (4 moeglichkeiten)

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)=(±)(1-sin²(a))^1/2(1-sin²(b))^1/2 -sin(a)sin(b) (2 moeglichkeiten)

cos(a-b)=(±)(1-sin²(a))^1/2(1-sin²(b))^1/2+sin(a)sin(b)  (2 moeglichkeiten)

 

Jetzt einfach die ganzen Sinuse (die oben gegeben wurden) einsetzen und los rechnen.

Answer 2

Man kann das ganze auch einfach in komplexen Zahlen angeben. Viel weniger schreiben mehr wissen :D. e^{ix}=cos+isin. Man setzt jetzt für x= a+b ein oder x=a-b. So erhält man e^{ia}*e^{ib} bei - natürlich geteilt. Nun steht da (cos(a)+isin(a))*(cos(b)*isin(b). Jetzt noch ausrechnen: cos(a)cos(b)+icos(a)sin(b)+isin(a)cos(b)-sin(a)sin(b), Den Imaginärteil trennen und vergleichen: cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
                                                                     sin(a+b)=cos(a)sin(b)+sin(a)cos(b)

Und so hat man die Additionstheoreme ohne größeren Aufwand :D

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