Wann sind Vektoren auf derselben Ebene? (3D)

Question

mir ist noch etwas der Begriff der "Ebene" in der Vektorrechnung unklar.

Wann befinden sich Vektoren auf derselben Ebene? (X,Y,Z - Koordinatensystem)

Im 2D ist die Ebene klar, sie besteht aus X-Richtung und Y-Richtung und ist "flach" und hat keine Tiefe. Wie ist das aber dann bei 3D ?

Ich kann mir das mit den Ebenen nicht so richtig vorstellen.

Answer 1

Wenn du drei Vektoren hast und gucken willst, ob diese eine Ebene aufspannen, dann musst du gucken, ob sie linear abhängig sind. Wenn ja, dann spannen sie eine Ebene auf. Wenn nicht, dann spannen sie den ganzen Raum auf.

Comments

Kann man das auch an den Vektorkomponenten ax, ay und az "ablesen", ob diese in einer Ebene liegen?

Das mit dem Berechnung des Spatprodukts ist mir klar. Wenn keine Tiefe aufgezogen wird, liegen die Vektoren alle in einer Ebene, weil das Volumen = 0 ist. (Kein schiefer Quader)

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Direkt ablesen kann man das nicht (außer du bist ein Genie und siehst das auf einen Blick :-) ).

Mir fällt gerade auf, dass ich oben einen kleinen Fehler gemacht habe: Wenn die drei Vektoren linear abhängig sind, spannen sie nicht unbedingt eine Ebene auf; es kann auch eine Gerade sein, nämlich dann, wenn die Vektoren jeweils Vielfache voneinander sind.

Und dann gibt es noch einen Spezialfall: Wenn die drei Vektoren alle der Nullvektor sind, dann spannen sie nicht mal eine Gerade auf.

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Also der Vektor b = (5, 2, 15) ist linear abhängig von  c = (2 , 1 , 5) und d  = (1, 0, 5) und deshalb liegen alle in derselben Ebene ?

Noch eine Frage: Wenn man wissen will, ob Punkt 1,2, 3, 4 auf einer Geraden liegen, dann muss man hier doch das Vektorprodukt mit den Differenzvektoren verwenden, um zuschauen, ob die aufgespannten Fläche = 0 ist?

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b, c und d spannen eine Ebene auf. Ich muss mich korrigieren: Hier kann man es sofort sehen, dass die Vektoren linear abhängig sind, nämlich b=2c+d. Aber allgemein sieht man das nicht so einfach.


Wenn du gucken willst, ob die Punkte auf einer Geraden liegen, dann bildest du einfach die Vektoren von einem Punkt zum anderen, also \(\vec{12}, \vec{23}, \vec{34}.\) Wenn die Punkte auf einer Geraden liegen, dann müssen diese Vektoren die gleiche Richtung haben, nur die Länge kann unterschiedlich sein. Die Vektoren müssen also jeweils Vielfache der anderen Vektoren sein. Wenn ein Vektor nicht das Vielfache eines anderen Vektors ist, dann liegen die Punkte nicht auf einer Geraden.

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Also man könnte dann z.B die 3 Vektoren nebeneinander zeichnen und dann durch Parallelverschiebung ablesen, ob sich die 3 Vektoren auf eine Linie bringen lassen.

Du hast geschrieben Vektoren die gleiche Richtung haben. Was ist aber nun mit invertierten Vektoren  -c? Die haben ja die entgegengesetzt Richtung, sind aber trotzdem auf eine Linie zu bringen, oder nicht?

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Ich kenne das eigentlich so, dass c und -c die gleiche Richtung, aber unterschiedliche Orientierung haben.

So wie hier: http://www.mathe-lexikon.at/algebra/vektoralgebra/vektor-grundlagen.html (Beispiel d)).

Aber wenn du das anders gelernt haben solltest, dann merk dir einfach, dass die Vektoren Vielfache voneinander sein müssen. Und das dürfen beliebige positive oder negative Vielfache sein.

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Ich dachte Orientierung und Richtung wären dieselben Sachen? Ich kenne da jetzt keinen Unterschied. Die Richtung zeigt doch immer der Pfeil des Vektors, also der Endpunkt.

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Wie gesagt, ich kenne es so, wie oben geschrieben und wie man es in dem Link sieht.

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Also die Orientierung ist die Zeigung des Pfeils und die Richtung ist nur der Strich, also wie bei einer Geraden ohne Pfeil ?


Wenn man einen Vektor mit gleicher Orientierung und Richtung inveritert, ändert sich nur seine Orientierung

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Ja, so könnte man das beschreiben.

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Gut, dann wird ein Vektor immer durch 3 Eigenschaften vollständig beschrieben. Danke