Zeige dass es eine Lin Abb ist und bestimme Kern/injektiv, zeige dass Bild die Menge aller ungeraden Funktionen ist

Question

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Aufgabe 47
Sei $V=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$, nämlich die Menge der Funktionen $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Sei $\varphi: V \rightarrow V$, sodass für alle $f \in V$
$\varphi(f)(x):=f(x)-f(-x), \quad \forall x \in \mathbb{R} .$
(i) Zeigen Sie, dass $\varphi$ eine lineare Abbildung ist.
(ii) Bestimmen Sie $\operatorname{Kern}(\varphi)$. Ist $\varphi$ injektiv?
(iii) Zeigen Sie, dass $\operatorname{Im}(\varphi)$ ist die Menge aller ungeraden Funktionen. Ist $\varphi$ surjektiv?

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

habe hier leider echt keinen Plan wie ich die löse und und was Kern und Bild... wäre super dankbar wenn mir hier wer weiterhelfen könnte!

Answer 1

Aloha :)$$\varphi(f)(x)\coloneqq f(x)-f(-x)\quad;\quad f\colon\mathbb R\to\mathbb R\quad;\quad\varphi\colon \mathbb R^{\mathbb R}\to\mathbb R^{\mathbb R}$$

zu i) Seien $c\in\mathbb R$ und $f,g\in\mathbb R\to\mathbb R$ beliebig gewählt:$$\varphi(c\cdot f+g)(x)=(c\cdot f+g)(x)-(c\cdot f+g)(-x)$$$$\phantom{\varphi(c\cdot f+g)(x)}=c\cdot f(x)+g(x)-c\cdot f(-x)-g(-x)$$$$\phantom{\varphi(c\cdot f+g)(x)}=c\cdot\left(f(x)-f(-x)\right)+g(x)-g(-x)$$$$\phantom{\varphi(c\cdot f+g)(x)}=c\cdot\varphi(f)(x)+\varphi(g)(x)$$Die $\varphi$-Funktion ist also linear.

zu ii) Der Kern enthält alle Abbildungen $k\colon\mathbb R\to\mathbb R$, die durch $\varphi$ auf die Nullfunktion abgebildet werden:$$0\stackrel!=\varphi(k)(x)=k(x)-k(-x)\implies k(x)=k(-x)$$Der Kern besteht aus allen geraden Funktionen.

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird. Wir wählen $k_1(x)=x^2$ und $k_2(x)=x^4$ aus dem Kern von $\varphi$ und haben damit 2 unterschiedliche Funktionen gefunden, die auf die Nullfunktion abbilden. Die Nullfunktion wird daher mehr als 1-mal getroffen, sodass die Funktion $\varphi$ nicht injektiv ist.

zu iii) Sei $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ beliebig, dann gilt für das Bild von $\varphi$:$$\varphi(f)(-x)=f(-x)-f(-(-x))=f(-x)-f(x)=-\left(f(x)-f(-x)\right)=-\varphi(f)(x)$$Das Bild von $\varphi$ liefert immer eine ungerade Funktion.

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge $\mathbb R^{\mathbb R}$ mindestens 1-mal erreicht wird. Da jedoch alle geraden Funktion aus der Zielmenge niemals erreicht werden, ist die Funktion $\varphi$ nicht surjektiv.