Aloha :)φ(f)(x) : =f(x)−f(−x);f : R→R;φ : RR→RR
zu i) Seien c∈R und f,g∈R→R beliebig gewählt:φ(c⋅f+g)(x)=(c⋅f+g)(x)−(c⋅f+g)(−x)φ(c⋅f+g)(x)=c⋅f(x)+g(x)−c⋅f(−x)−g(−x)φ(c⋅f+g)(x)=c⋅(f(x)−f(−x))+g(x)−g(−x)φ(c⋅f+g)(x)=c⋅φ(f)(x)+φ(g)(x)Die φ-Funktion ist also linear.
zu ii) Der Kern enthält alle Abbildungen k : R→R, die durch φ auf die Nullfunktion abgebildet werden:0=!φ(k)(x)=k(x)−k(−x)⟹k(x)=k(−x)Der Kern besteht aus allen geraden Funktionen.
Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird. Wir wählen k1(x)=x2 und k2(x)=x4 aus dem Kern von φ und haben damit 2 unterschiedliche Funktionen gefunden, die auf die Nullfunktion abbilden. Die Nullfunktion wird daher mehr als 1-mal getroffen, sodass die Funktion φ nicht injektiv ist.
zu iii) Sei f : R→R beliebig, dann gilt für das Bild von φ:φ(f)(−x)=f(−x)−f(−(−x))=f(−x)−f(x)=−(f(x)−f(−x))=−φ(f)(x)Das Bild von φ liefert immer eine ungerade Funktion.
Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge RR mindestens 1-mal erreicht wird. Da jedoch alle geraden Funktion aus der Zielmenge niemals erreicht werden, ist die Funktion φ nicht surjektiv.