0 Daumen
335 Aufrufe

Screenshot (57).png

Text erkannt:

Aufgabe 47
Sei V=RR V=\mathbb{R}^{\mathbb{R}} , nämlich die Menge der Funktionen f : RR f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} . Sei φ : VV \varphi: V \rightarrow V , sodass für alle fV f \in V
φ(f)(x) : =f(x)f(x),xR. \varphi(f)(x):=f(x)-f(-x), \quad \forall x \in \mathbb{R} .
(i) Zeigen Sie, dass φ \varphi eine lineare Abbildung ist.
(ii) Bestimmen Sie Kern(φ) \operatorname{Kern}(\varphi) . Ist φ \varphi injektiv?
(iii) Zeigen Sie, dass Im(φ) \operatorname{Im}(\varphi) ist die Menge aller ungeraden Funktionen. Ist φ \varphi surjektiv?

Aufgabe:


Problem/Ansatz:

habe hier leider echt keinen Plan wie ich die löse und und was Kern und Bild... wäre super dankbar wenn mir hier wer weiterhelfen könnte!

Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)φ(f)(x)f(x)f(x);f ⁣ : RR;φ ⁣ : RRRR\varphi(f)(x)\coloneqq f(x)-f(-x)\quad;\quad f\colon\mathbb R\to\mathbb R\quad;\quad\varphi\colon \mathbb R^{\mathbb R}\to\mathbb R^{\mathbb R}

zu i) Seien cRc\in\mathbb R und f,gRRf,g\in\mathbb R\to\mathbb R beliebig gewählt:φ(cf+g)(x)=(cf+g)(x)(cf+g)(x)\varphi(c\cdot f+g)(x)=(c\cdot f+g)(x)-(c\cdot f+g)(-x)φ(cf+g)(x)=cf(x)+g(x)cf(x)g(x)\phantom{\varphi(c\cdot f+g)(x)}=c\cdot f(x)+g(x)-c\cdot f(-x)-g(-x)φ(cf+g)(x)=c(f(x)f(x))+g(x)g(x)\phantom{\varphi(c\cdot f+g)(x)}=c\cdot\left(f(x)-f(-x)\right)+g(x)-g(-x)φ(cf+g)(x)=cφ(f)(x)+φ(g)(x)\phantom{\varphi(c\cdot f+g)(x)}=c\cdot\varphi(f)(x)+\varphi(g)(x)Die φ\varphi-Funktion ist also linear.

zu ii) Der Kern enthält alle Abbildungen k ⁣ : RRk\colon\mathbb R\to\mathbb R, die durch φ\varphi auf die Nullfunktion abgebildet werden:0=!φ(k)(x)=k(x)k(x)    k(x)=k(x)0\stackrel!=\varphi(k)(x)=k(x)-k(-x)\implies k(x)=k(-x)Der Kern besteht aus allen geraden Funktionen.

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird. Wir wählen k1(x)=x2k_1(x)=x^2 und k2(x)=x4k_2(x)=x^4 aus dem Kern von φ\varphi und haben damit 2 unterschiedliche Funktionen gefunden, die auf die Nullfunktion abbilden. Die Nullfunktion wird daher mehr als 1-mal getroffen, sodass die Funktion φ\varphi nicht injektiv ist.

zu iii) Sei f ⁣ : RRf\colon\mathbb R\to\mathbb R beliebig, dann gilt für das Bild von φ\varphi:φ(f)(x)=f(x)f((x))=f(x)f(x)=(f(x)f(x))=φ(f)(x)\varphi(f)(-x)=f(-x)-f(-(-x))=f(-x)-f(x)=-\left(f(x)-f(-x)\right)=-\varphi(f)(x)Das Bild von φ\varphi liefert immer eine ungerade Funktion.

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge RR\mathbb R^{\mathbb R} mindestens 1-mal erreicht wird. Da jedoch alle geraden Funktion aus der Zielmenge niemals erreicht werden, ist die Funktion φ\varphi nicht surjektiv.

Avatar von 153 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage