Für welche Werte ist die Funktion f stetig?

Question

Aufgabe: 1) Bestimmen Sie alle reellen Zahlen, an denen die folgende Funktion f stetig ist.

2) Für welche Wahl von a,b ist die Funktion f stetig? Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz: Wie werden diese Aufgaben gelöst?

1. Bestimmen Sie alle reellen Zahlen, an denen die folgende Funktion \( f \) stetig ist.

\( f: \;\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{|1-x|-1}{|2-x|}, & x \neq 2 \\ 1, & x=2\end{array}\right. \)
2. Für welche Wahl von \( a, b \in \mathbb{R} \) ist die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2-x^{4} & x \leq 1 \\ b x^{2}-a & 1<x \leq 2 \\ \frac{x+2}{2} & x>2 \end{array}\right. \)
stetig? Begründen Sie Ihre Antwort.

Answer 1

Aloha :)

zu 1) Die kritische Stelle ist \((x=2)\). Damit die Funktion dort stetig ist, müssen der links- und rechtsseitige Grenzwert gleich dem Funktionswert \(f(2)=1\) sein:$$\lim\limits_{x\nearrow2}\frac{|1-x|-1}{|2-x|}=\lim\limits_{h\searrow0}\frac{|1-(2-h)|-1}{|2-(2-h)|}=\lim\limits_{h\searrow0}\frac{|-1+h|-1}{h}=\lim\limits_{h\searrow0}\frac{-(-1+h)-1}{h}$$$$\phantom{\lim\limits_{x\nearrow2}\frac{|1-x|-1}{|2-x|}}=\lim\limits_{h\searrow0}\frac{1-h-1}{h}=\lim\limits_{h\searrow0}\frac{-h}{h}=-1\ne f(2)$$Die Funktion ist an der Stelle \(x=2\) nicht stetig.

~plot~ (abs(1-x)-1)/abs(2-x) ; {2|1} ; {2|-1} ; [[-3|3|-1,5|1,5]] ~plot~

zu 2) Es ist \(f(1)=1\) sowohl der linksseitige Grenzwert als auch der Funktionswert bei \(x=1\). Damit die Funktion bei \(x=1\) stetig ist, muss auch der rechtsseitige Grenzwert gleich \(f(1)=1\) sein:$$1\stackrel!=\lim\limits_{x\searrow1}(bx^2-a)=b-a\implies a=b-1$$Es ist \(f(2)=4b-a\) sowohl der linksseitige Grenzwert als auch der Funktionswert bei \(x=2\). Damit die Funktion dort stetig ist, muss auch der rechtsseitige Grenzwert gleich \(f(2)=4b-a\) sein:$$4b-a\stackrel!=\lim\limits_{x\searrow2}\frac{x+2}{2}=2\implies a=4b-2$$Wir setzen die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleich:$$b-1=a=4b-2\implies3b=1\implies b=\frac13\implies a=b-1=-\frac23$$Die Funktion ist für alle \(x\in\mathbb R\) stetig, wenn \(\left(a=-\frac23\right)\) und \(\left(b=\frac13\right)\) gilt.

~plot~ (2-x^4)*(x<=1) ; (1/3*x^2-(-2/3))*(x>1)*(x<=2) ; ((x+2)/2)*(x>2) ; {1|1} ; {2|2} ; [[-2|4|-1|3]] ~plot~

Answer 2

Hallo

1. schreibe die funktion für x>2  und 1<x<2 auf und bestimme die werte bei x=2

2, bestimme f(1) und lim x-> 2 für (x+2)/2

dan setze in ax^2+b  (1,f(1)) und (2,f(2))  ein dann hast du eine stetige Funktion.

lul

Comments

woher kommt ax^2 + b ? und 2 Frage ist, könntest du bitte die beiden mehr deutlicher erklären? weil es ist immer noch schwer für mich zu verstehen