Verwendung des Standardskalarprodukts und der euklidischen Norm im ℝ2 interpretieren?

Question

Aufgabe:

Die Parallelogrammgleichung wurde für eine Norm ‖.‖, die sich als ‖v‖ := √(v,v) aus einem Skalarprodukt ergibt bewiesen.

a) Wie lässt sich diese in einem Parallelogramm mit den Ecken bei 0,v,w, v + w ∈ ℝ² und
Verwendung des Standardskalarprodukts und der euklidischen Norm im ℝ² interpretieren?

b) Gib ein Beispiel von x,y ∈ ℝ² an, so dass für die Supremumsnorm ‖.‖_∞ : ℝ² →  [0,∞[

                                                                                                                   (x,y) ↦ max {ΙxΙ,ΙyΙ}
die Parallelogrammgleichung nicht gilt.

Problem/Ansatz:

Verstehe diese Aufgabe leider nicht und brauche bitte eure Hilfe.

Text erkannt:

Die Parallelogrammgleichung wurde für eine Norm $\|\cdot\|$, die sich als $\|v\|:=\sqrt{\langle v, v\rangle}$ aus einem Skalarprodukt ergibt bewiesen.
a) Wie läßt sich diese in einem Parallelogramm mit den Ecken bei $\underline{0}, \underline{v}, \underline{w}, \underline{v}+w \in \mathbb{R}^{2}$ und Verwendung des Standardskalarprodukts und der euklidischen Norm im $\mathbb{R}^{2}$ interpretieren?
b) Gib ein Beispiel von $\underline{x}, \underline{y} \in \mathbb{R}^{2}$ an, so daß für die Supremumsnorm $\|\cdot\|_{\infty}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow[0, \infty[$ $(x, y) \mapsto \max \{|x|,|y|\}$ die Parallelogrammgleichung nicht gilt.

Answer 1

Vermutlich war das ja die Gleichung

||v+w||² + ||v-w||² = 2( ||v||² + ||w||² ) .

In dem besagten Parallelogramm sind

||v+w|| und  ||v-w|| die Seitenlängen der Diagonalen

und ||v|| und ||w|| die Längen der Seiten.

siehe auch :

https://de.wikipedia.org/wiki/Parallelogrammgleichung#Anwendung_in_d…

b) Betrachte x=(1;1) und y=(1;-1)

Dann gilt für die Supremumsnorm:

||x||=1 und ||y||=1 und x+y=(2;0) also ||x+y||=2

und x-y=(0;2) also ||x-y||=2

Aber 2² + 2² = 2 * ( 1² + 1² )  ist falsch.

Comments

Super.

Vielen lieben Dank für deine Hilfe. :)