Inverse Matrix: Brauche Unterstützung

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Matrix A mit
$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -4 & 1 \end{array}\right) \text {. }$
Bestimmen Sie die inverse Matrix.

Brauche hier die Lösung bitte und gerne mir Erklärung, würde es verstehen wollen weil ich es wirklich nicht verstehe.. habe mir unzählige Youtube Videos angesehen und dennoch sowas.. Danke im Voraus :**

Answer 1

Die allg. Inverse zu eine $2 x 2$ Matrix berechnet sich durch $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ u & v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Das gibt 4 Gleichungen

$(1) \quad ax + bu = 1$

$(2) \quad ay + bv = 0$

$(3) \quad cx + du = 0$

$(4) \quad cy+dv = 1$

Jetzt (1) mit $d$ und (3) mit $b$ multiplizieren und subtrahieren gibt

$(1') \quad x = \frac{d}{ad-bc}$

Dann (2) mit $d$ und (4) mit $b$ multiplizieren gibt

$(2') \quad y = - \frac{b}{ad-bc}$

Jetzt (1') in (3) und (2') in (2) einsetzen, ergebn die Lösungen für $u$ und $v$

Wenn Du alles richtig gemacht hast kommt folgendes raus

$$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$ falls $ad-bc \ne 0$ gilt. Falls diese Bedingung nicht erfüllt ist, gibt es keine Inverse.

Für den Ausdruck $ad-bc$ gibt es die Bezeichnung $\det(A)$

Also $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

Jetzt noch die Bedingung prüfen ob überhaupt eine Inverse ex. und dann die Zahlen einsetzen und alles ausrechnen, fertig.