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Aufgabe:

D sei eine nichtleere Menge, und (fn)n∈ℕ sei eine Folge von Funktionen fn : D → K, welche
punktweise gegen die Funktion f : D → K konvergiert.
Zeigen Sie: (fn)n∈N konvergiert genau dann auf D gleichmäßig gegen f , wenn für jede Folge
(xn)n∈ℕ in D gilt:
lim n→∞ (fn(xn) − f (xn)) = 0.


Problem/Ansatz:

Damit (fn) gleichmäßig gegen f konvergiert, muss (fn) punktweise konvergieren, also:
lim fn(x) = f(x), bzw. lim fn(xn) = f(xn)
Sei das also gegeben.
Nun hat man aber folgende Bedingung für die gleichmäßige Konvergenz:
∀ε>0∃N∈ℕ∀xn∈D∀n≥N: |fn(x)-f(xn)| < ε
Nun verstehe ich es so: Gelte dies, dann nähert sich fn(xn) immer näher an f(xn) an, heißt also:
lim fn(xn) = lim f(xn)
lim fn(xn) - lim f(xn) = 0
lim (fn(xn) - f(xn)) = 0

Stimmt mein Ansatz? Wie würde die andere Richtung der Äquivalenz aussehen? Wäre für Hilfe dankbar.

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Beste Antwort

Hallo,

du schreibst in deinem Ansatz limnfn(xn)=f(xn)\lim_n f_n(x_n)=f(x_n). Das macht nicht wirklich Sinn, da auf der rechten Seite immer noch ein nn steht. Ein ähnliches Problem taucht dann entsprechend in den folgenden Schritten auf.
Die Schwierigkeit liegt darin, dass sich bei fn(xn)f(xn)f_n(x_n)-f(x_n) sowohl die Funktion, als auch der betrachtete Punkt ändern.

Ich schreibe nochmal kurz die Definiion auf, weil ich die oft benutzen werde:fnfε>0NNnNxD : fn(x)f(x)<ε f_n\rightrightarrows f\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0\,\exists N\in\N\,\forall n\geq N\,\forall x\in D:\quad |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon

Wie sieht diese Definition negiert aus? (wird bei \Leftarrow wichtig)

Nun zum eigentlichen Beweis:

\Rightarrow:
Es gilt also fnff_n\rightrightarrows f.
Sei (xn)n(x_n)_n eine beliebige Folge in DD. Wir müssen jetzt zeigen, dass limn(fn(xn)f(xn))=0(1)\lim_n(f_n(x_n)-f(x_n))=0\tag{1}
Beachte, dass wie vorhin schon erwähnt sich fnf_n und xnx_n mit steigendem nn ändern. Zum Glück haben wir gleichmäßige Konvergenz gegeben, d.h. es stört nicht wirklich, wenn sich die Punkte ändern. (In der Definition erkennst du das daran, dass ein NN gewählt wird, das für alle xDx\in D gilt. Vergleiche mit der pktw. Konvergenz, wo du zuerst das xx wählst). Wir zeigen (1) jetzt mit der klassischen ε\varepsilon-Definition des Grenzwerts.
Sei also ε>0\varepsilon>0, dann gibt es aufgrund von fnff_n\rightrightarrows f ein NNN\in\N sodass für alle nNn\geq N und xDx\in D gilt:fn(x)f(x)<ε |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon
Also gilt für alle nN,mNn\geq N,m\in\N:fn(xm)f(xm)<ε |f_n(x_m)-f(x_m)|<\varepsilon
Damit also schließlich für alle nNn\geq N:fn(xn)f(xn)<ε |f_n(x_n)-f(x_n)|<\varepsilon
Somit gilt (1) und diese Richtung ist bewiesen.


\Leftarrow:
Es gelte also limn(fn(xn)f(xn))=0(2) \lim_n(f_n(x_n)-f(x_n))=0\tag2
für alle Folgen (xn)n(x_n)_n in DD.
Angenommen fnff_n\rightrightarrows f gilt nicht. Dann ε>0\exists\varepsilon>0 sodass NNmNxmD\forall N\in\N\,\exists m\geq N\,\exists x_{m}\in D mit fm(xm)f(xm)>ε2(3) |f_{m}(x_{m})-f(x_{m})|>\frac{\varepsilon}{2}\tag3
Wir wollen das jetzt nutzen um eine Folge zu definieren, die (2) nicht erfüllt. Nach (3) finden wir eine Folge (ak)k(a_k)_k in N\N und eine Folge (xak)k(x_{a_k})_k in DD sodass a11a_1\geq1 und dann rekursiv ak+1>aka_{k+1}>a_k mit fak(xak)f(xak)>ε2(4) |f_{a_k}(x_{a_k})-f(x_{a_k})|>\frac{\varepsilon}{2}\tag4
Die Folge (xak)k(x_{a_k})_k selber können wir noch nicht nehmen, da evt. immer fk(xak)fak(xak)f_k(x_{a_k})\neq f_{a_k}(x_{a_k}). Deswegen füllen wir die Lücken noch auf, sei dazu dDd\in D, wir definieren die Folge (yn)n(y_n)_n in DD durch:yn : ={xakn=akdsonst y_n:=\begin{cases}x_{a_k}&n=a_k\\d&\text{sonst}\end{cases}
Diese Folge steht dann im Widerspruch zu (2). (Warum?)


Das Konstruieren der Folge am Ende ist etwas umständlich, vielleicht gibt es da einen eleganteren Weg.

(Die Voraussetzung aus der Aufgabe, dass fnff_n\to f punktweise gilt ist glaube ich nicht notwendig.)

LG Dojima

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Jetzt habe ich es verstanden. Danke für die ausführliche Erklärung!

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