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Aufgabe:

$$\text {Für } n \in \mathbb { N } \text { sei } f _ { n } : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } \text { gegeben durch } f _ { n } ( x ) : = \sqrt { x ^ { 2 } + \frac { 1 } { n } }$$

Konvergiert die Folge $$\left( f _ { n } ^ { \prime } \right) _ { n \in N }$$ gleichmäßig?


Problem/Ansatz:

In den ersten Teilaufgaben habe ich bereits gezeigt, dass die Folge $$ \left( f _ { n } \right) _ { n \in \mathbb { N } }$$ punktweise und gleichmäßig konvergiert. Habe leider keine Idee wie man nun zeigen soll, dass die Ableitung gleichmäßig bzw. nicht gleichmäßig konvergiert. Ich vermute Sie konvergiert nicht gleichmäßig. Ist aber mehr geraten als gewusst.

Wäre sehr nett, wenn mir da jemand helfen könnte.

von

Für n gegen unendlich verschwindet 1/n. D.h. fn sollte wohl gegen f(x) = √(x^2) = |x| konvergieren.

Klar ist, dass der Graph von |x| eine "Ecke" in x= 0 hat. Die Ableitung ist somit in x=0 wohl nicht definiert/stetig ergänzbar. Kann das ein Problem geben bei der gleichmässigen Konvergenz der Ableitung?

Die Ableitung ist ja x / |x| für n gegen unendlich. Das heißt die Grenzfunktion g(x) ist in x=0 undefiniert. Daraus folgt g(x) gilt nicht für jede reelle Zahl x und somit ist die Ableitung nicht punktweise konvergent. Damit kann sie aber auch nicht gleichmäßig konvergent sein.

Kann man das so sagen, oder hab ich einen Denk- bzw. Verständnisfehler?

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