vollständige Induktionen mit Primzahlen (Primfaktorzerlegungen)

Question

Aufgabe:

n ist Element der natürlichen Zahlen

(b) Sei \( R \) ein Integritätsbereich und \( p \in R \) prim. Zeigen Sie: Ist \( r \in \mathbb{N} \) und gilt \( p \mid\left(a_{1} \cdots a_{r}\right) \) für beliebige Elemente \( a_{1}, \ldots, a_{r} \in R \), so folgt \( p \mid a_{i} \) für wenigstens ein \( i \in\{1, \ldots, r\} \).

(c) Zeigen Sie: Sind \( n=p_{1} \cdots p_{r} \) und \( n=q_{1} \cdots q_{s} \) zwei Primfaktorzerlegungen von \( n \), wobei \( r, s \in \mathbb{N}_{0} \) sowie \( p_{1}, \ldots, p_{r}, q_{1}, \ldots, q_{s} \in \mathbb{P} \) mit \( p_{1} \leq \ldots \leq p_{r} \) und \( q_{1} \leq \ldots \leq q_{s} \) seien, so folgt bereits \( r=s \) und \( p_{i}=q_{i} \) für alle \( i \in\{1, \ldots, r\} \).

Problem/Ansatz:

Hallo, hat jemand eventuell einen Ansatz für die beiden Aufgaben? Bei der (b) muss ich vermutlich eine induktion nach r machen und bei (c) nach n. Jedoch weiß sich leider nicht so ganz, wie ich es machen soll.

Answer 1

\(p\) heißt prim, wenn \(p\, |\, ab\Rightarrow p\, | \, a\; \vee p\, |\, b\quad(*)\)

Zu a) vollst. Ind. nach \(r\):

Ind.anfang: \(r=2\). Ist \((*)\).

Ind.annahme: Behauptung gelte für \(r\) mit \(r-1\geq 2\).

Ind.behsuptung: Dann gilt Behauptung auch für \(r\).

Beweis: Es ist \(a_1\cdot \cdots \cdot a_{r-1}\cdot a_r=(a_1\cdot \cdots \cdot a_{r-1})\cdot a_r\).

Nach \((*)\) gilt daher \(p\, | \; a_1\cdots a_{r-1}\; \vee \; p \, | \, a_r\), also

nach Ind.annahme \(p\, | \, a_i\) für ein \(i\in \{1,\cdots,r-1\} \; \vee p\, | \, a_r\),

somit die Behauptung.

Comments

Danke für deine Hilfe. Hast du vielleicht noch einen Ansatz für die andere Aufgabe?

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Bei a) habe ich dir wichtige Gesichtspunkte bzgl.

Produkten und deren Primteilern mitgeteilt. Nun solltest du

selbst mit Fantasie und Forscherdrang den Teil b)

erarbeiten. Bedenke, dass bei \(p_1\cdots p_r=q_1\cdots q_s\)

jeder Primfaktor der einen Seite auch einen Primfaktor

der anderen Seite teilen muss.