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Ich habe in der Schule eine Aufgabe gekriegt:

Wir wollen hier mit rekursiven Bernoulli-Ketten arbeiten. Wir werfen eine fair Münze mehrmals. Berechne die erwartungsgemäße Anzahl der Würfe bis das genannte Ereignis eintritt:

a) Das erste mal Kopf.

b) Erst Kopf dann Zahl direkt hintereinander.

c) Zwei mal Kopf direkt hintereinander

d) Kopf, Kopf, Zahl, Zahl genau in der Reihenfolge direkt hintereinander. Tipp: Bei dieser Aufgabe brauchst du eventuell 2 Erwartungswerte um auf das Ergebnis zu kommen.

Ich habe also erstmal angefangen. Für a) war meine Lösung folgende:

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 würfelt man im ersten Versuch Kopf, die Wahrscheinlichkeit das es nicht beim 1., allerdings beim 2. gelingt ist 1/2 * 1/2 = 1/4, Für den 3. sind es 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8. Allgemein gilt (1/2)^n ist das beim nten Wurf das erste mal Kopf gewürfelt wird. Da dies unendlich lange weiter gehen kann suchen wir den Erwartungswert E. Dieser ist

E = 1/2 *1 + 1/2 * (1+E)

1/2 * E = 1

E = 2


Die erwartungsmäßige Anzahl der Würfe benötigt bis das Erste mal Kopf gewürfelt wird ist 2.

Allerdings bin ich bei Aufgabe b) und c) sehr unsicher.

b)

Ich rechne zuerst wieder die Wahrscheinlichkeit aus das unser Ereignis sofort passiert.

Die Wahrscheinlichkeit für dies ist 1/2 * 1/2 = 1/4.

Der Erwartungswert ist nicht 4, da es ein besonderes Detail gibt. Wenn es in den ersten würfen nicht klappt, dann ist dies in den Folgenden Fällen mit einem Kopf als Letzter Wurf Verbunden:

Kopf, Kopf

Zahl, Kopf

Es gibt insgesamt 4 Möglichkeiten für die ersten beiden Würfe, 1/4 der Fälle gewinnt man Sofort, 1/2 der Fälle hat man eine Basis für den nächsten Wurf, und in 1/4 Fällen hat man Zahl als Letztes.

Jetzt kam ich nicht weiter zu berechnen was der Gesamt Erwartungswert ist. Ich habe auch keine Idee ob es eine einfacheren Lösungsweg gibt.


c)

Die Chance das es in den ersten beiden Würfen 2 mal Kopf gibt ist 1/4.

Und ich komme wieder nicht weiter :(


Ich würde mich sehr freuen wenn jemand mir sagen könnte, wie man solche Aufgaben lösen kann und einfach und schnell die erwartungsgemäße Anzahl von Würfen ausrechnen kann.

Vielen Dank im Voraus! :)

von

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