Beweis Binomialkoeffizient mit Summenzeichen

Question

$$\sum\limits_{k=0}^{n}{{n \choose k}10^{n-k} 2^k } = 6^{n}\sum\limits_{k=0}^{n}{n \choose k}$$    

Wir sollen es Beweisen oder widerlegen ∀ n,k ∈ N

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war:

Die Summe links: die 10ⁿ-k mit der 2^k zusammenfassen

So fällt x^k weg und wir haben nur noch (10+2)ⁿ

Die Summe rechts: In der Vorlesung haben wir gelernt wir fügen eine 1ⁿ-k ein, also kam ich auf die Idee wir fügen 6ⁿ-k ein, Dies würde aber den Wahrheitswert ändern also wäre es quasi falsch?

Also: angenommen die 6ⁿ-k einzufügen wäre richtig:   dann hätten wir (6+6)ⁿ+k-k =>  (12)ⁿ und somit wäre die Gleichheit bewiesen.

Aber es fühlt sich falsch an, kann mir jemand helfen.

Comments

Rechne doch einfach die linke Seite mit der binomischen Formel aus.

Answer 1

10^(n-k)*2^k = 2^(n-k)*5^(n-k)*2^k = 2ⁿ*5^(n-k) = 10ⁿ/5^k = 2ⁿ*5^(n-k)

Answer 2

Aloha :)

Diese Aufgabe zielt auf den binomischen Lehrsatz ab, er lautet:$$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$Damit musst du die Gleichung von links nach rechts direkt durchrechnen:$$\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}10^{n-k}\cdot2^k=(10+2)^n=12^n=(6\cdot2)^n=6^n\cdot2^n$$$$\phantom{\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}10^{n-k}\cdot2^k}=6^n\cdot(1+1)^n=6^n\cdot\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}1^k=6^n\cdot\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}$$