Hallo,
Willkommen in der Mathelounge!
Der Trick bei dieser Differenzialgleichung besteht in der Substitution$$z=y+t$$Daraus folgt dann$$z' = y' + 1 \implies z' - 1 = \frac{z-3}{-z-1}$$und der Rest geht dann ganz 'normal' über die Trennung der Veränderlichen$$\begin{aligned} z'-1 &= \frac{z-3}{-z-1} \\ -(z+1)z'+z+1&= z -3 \\ (z+1)z'&= 4 \\ (z+1)\,\text dz &=4\,\text dt \\ \int (z+1)\,\text dz &=\int 4\,\text dt \\ \frac 12(z+1)^2 &=4t + C' \\ (z+1)^2 &=8t + C \\ (y+t+1)^2 &=8t + C \\ \end{aligned}$$Und aus der Anfangsbedingung \(y(0)= 1\) folgt \(C=4\). Anbei der Graph
Die Punkte oben im Bild sind die Werte einer nummerischen Lösung beginnend mit dem Anfangswert. Diesen kann man auch verschieben.
Gruß Werner
