0 Daumen
73 Aufrufe

Aufgabe: Differenzialgleichung 1.Ordnung

y' = (t + y -3)/(-t-y-1), y(0)=1


Problem/Ansatz: Lösung bestimmen. Die Lösung darf in impliziter Form angegeben werden.

von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Der Trick bei dieser Differenzialgleichung besteht in der Substitution$$z=y+t$$Daraus folgt dann$$z' = y' + 1 \implies z' - 1 = \frac{z-3}{-z-1}$$und der Rest geht dann ganz 'normal' über die Trennung der Veränderlichen$$\begin{aligned} z'-1 &= \frac{z-3}{-z-1} \\ -(z+1)z'+z+1&= z -3 \\ (z+1)z'&= 4 \\ (z+1)\,\text dz &=4\,\text dt \\ \int (z+1)\,\text dz &=\int 4\,\text dt \\ \frac 12(z+1)^2 &=4t + C' \\ (z+1)^2 &=8t + C \\ (y+t+1)^2 &=8t + C \\ \end{aligned}$$Und aus der Anfangsbedingung \(y(0)= 1\) folgt \(C=4\). Anbei der Graph


Die Punkte oben im Bild sind die Werte einer nummerischen Lösung beginnend mit dem Anfangswert. Diesen kann man auch verschieben.

Gruß Werner

von 44 k

Danke für deine Hilfe

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community