Approximation einer Funktion durch ein Fourierpolynom

Question

Aufgabe:

2. Wählen Sie aus: Die Approximation einer Funktion \( f(t) \) durch ein Fourierpolynom \( F_{n}(t) \) auf dem Intervall \( \left[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\right] \) ist optimal in dem Sinn, dass folgender Fehler minimal ist:
a) \( \int \limits_{-T / 2}^{T / 2}\left(f(t)-F_{n}(t)\right)^{2} d t \)
b) \( \int \limits_{-T / 2}^{T / 2}\left|f(t)-F_{n}(t)\right| d t \).

Problem/Ansatz:

Die Möglichkeit a.) wäre richtig aber ich habe die Aufgabe und die Lösung gar nicht verstanden. Könnt ihr mir sie erklären?

Answer 1

Hallo,

die Frage / Anwort bedeutet: Es sei \(F_n\) das Fourier-Polynom zur Funktion f,

$$F_n(t)=0.5 a_0 + \sum_{k=1}^n (a_k \cos(\omega kt)+ b_k \sin(\omega k t))$$

also mit den festgelegten Fourier-Koeffizienten \(a_k,b_k\). Es sei außerdem

$$h(t)=p_0 + \sum_{k=1}^n (p_k \cos(\omega kt)+ q_k \sin(\omega k t))$$

eine Funktion mit gleicher Struktur und beliebigen Koeffizienten \(p_k,q_k\).

Dann gilt

$$\int_{-T/2}^{T/2}(f(t)-F_n(t))^2 dt \leq \int_{-T/2}^{T/2}(f(t)-h(t))^2 dt$$

Dabei betrachtet man das Integral (eigentlich die Wurzel daraus) als Maß für die Abweichung zwischen 2  Funktionen.

Diese Aussage ist nicht trivial. Als Frage ist sie ein Check, ob Du in Euer Lehrmaterial geschaut hast.