Guten Tag
Aufgabe:
Bestimme die Fourier-Reihe von f(x):=x² im Intervall [-π,π].
Problem/Ansatz:
Die Koeffizienten hab ich hab ich berechnet und daraus dann dir Fourier-Reihe bestimmt.
Leider stimmt die Fourier-Reihe nicht, wenn ich zum Beispiel x=0 berechne.
a0 = 2/2π * \( \int\limits_{-π}^{π} \) f(t) dt = 1/π * \( \int\limits_{-π}^{π} \) t² dt = 1/π * [t³/3] = 1/π*(π³/3 + π³/3) = \( \frac{2π²}{3} \)
an = 2/2π * \( \int\limits_{-π}^{π} \) f(t) * cos(nt) dt = 1/π * \( \int\limits_{-π}^{π} \) t² * cos(nt) dt = 1/π * [t³/3*cos(nt)+t²*1/n*sin(nt)]
= 1/π *(π³/3 * cos(n*π) + π²*1/n*sin(n*π) + π³/3*cos(-π*n) - π²*2/n*sin(-π*n)) = 1/π * ( (-1)n * π³/3 + (-1)n * π³/3)
= (-1)n* \( \frac{2π}{3} \)
bn = 2/2π * \( \int\limits_{-π}^{π} \) f(t) * sin(nt) dt = 1/π * \( \int\limits_{-π}^{π} \) t² * sin(nt) dt = 1/π * [t³/3*sin(nt)-t²*1/n*cos(nt)]
= 1/π *(π³/3 * sin(n*π) - π²*1/n*cos(n*π) + π³/3*sin(-π*n) - π²*2/n*cos(-π*n)) = 1/π * ((-1)n+1 * π²*1/n + (-1)n+1 *π²/n)
= (-1)n+1 * \( \frac{2*π²}{n} \)
=> \( \frac{π²}{3} \) + \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{} \) (-1)n * \( \frac{2π²}{3} \) * cos(nx) + (-1)n+1 * \( \frac{2π²}{n} \) * sin(nx)
Da f ja y-Achsensymmetrisch ist, also gerade, ist eigentlich bn = 0. Doch habe ich für bn nicht 0 rausbekommen, wo liegt da mein Fehler?
Weiter wenn ich die Koeffizienten in die Fourier-Reihe einsetze bekomme ich falsche Ergebnisse.
Wenn mir jemand sagen kann wo mein Fehler liegt, dann wäre ich darüber sehr dankbar.
