Fehler durch Approximation von unendlicher Summenformel

Question

ich habe Messdaten, deren y(x)-Verlauf  laut Theorie mit Gleichung (1) beschrieben werden kann.

Wenn ich beispielsweise nur 3 Summenterme zur Approximation von Gleichung (1) verwende (siehe Gleichung 2), mache ich ja einen Fehler.

Wie kann ich diesen Fehler quantifizieren?

\( y=y_{0} * \sum \limits_{\mathrm{n}=1}^{\infty} \exp \left(-\alpha \mathrm{n}^{2} \mathrm{x}\right) \)

\( y=y_{0} * \sum \limits_{\mathrm{n}=1}^{3} \exp \left(-\alpha \mathrm{n}^{2} \mathrm{x}\right) \)

Answer 1

zunächst: Wenn x=0, dann ist die Reihe divergent. Also braucht man die Garantie, dass x>c>0 ist (alpha >0?).

Dann kann man abschätzen:

$$\exp(-\alpha n^2 x) \leq \exp(-\alpha n c)=q^n$$ mit $$q:=\exp(-\alpha c)$$

Damit kann man die Formeln für die geometrische Reihe benutzen. Die Abschätzung ist etwas grob, aber einfach.