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Aufgabe:

Sei \( (X, d) \) ein metrischer Raum und \( A=\left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\} \subset X \) eine endliche Teilmenge. Zeigen Sie, dass \( A \) abgeschlossen ist.


Könnte mir bei der Aufgabe bitte jemand behilflich sein?

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2 Antworten

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Idee: Das Komplement von A ist offen.

Denn wenn x ein Punkt aus X\A ist, ist x von allen xi ∈ A verschieden,

und damit ist die Menge der Abstände von zu jedem der xi eine

endliche Menge positiver Zahlen. Diese hat also ein Minimum ε.

Dann ist in der ε-Umgebung von x keines der xi, also enthält die

nur Elemente von X\A. Somit ist X\A offen.

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Hallo,

zeige zunächst, dass \(\lbrace{x \rbrace} \subset X \) abgeschlossen ist für alle \( x \in X \) (etwa mit dem Folgenkriterium).

Da die endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist, folgt die Abgeschlossenheit von \( A = \bigcup\limits_{i=1}^n \lbrace{x_i\rbrace} \)

Avatar von 5,9 k

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