Question

Dass ℚ dicht in ℝ liegt, bedeutet dass

- für jedes r ∈ ℝ ein q ∈ ℚ existiert mit q ≥ r.

- für alle r₁, r₂ ∈ ℝ mit r₁ < r₂ ein q ∈ ℚ existiert mit r₁ < q < r_2.

- für alle q₁, q₂ ∈ ℚ mit q_{1 <} q₂ ein r ∈ ℝ existiert mit q₁ ≤ r ≤ q_2.

- für alle x, y ∈ ℝ mit x < y ein q ∈ ℝexistiert mit x < q < y.

Comments

Welche Aussage(n) hältst du denn für wahr?
Ich gehe frecherweise davon aus, dass du über die Sache
nachgedacht hast und die Definition von "dicht" verstanden hast.

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Answer 1

Zu 1.:

hat mit "dicht" nichts zu tun, sondern ist in $\mathbb{R}$

wegen des archimedischen Axioms immer erfüllt:

"es gibt beliebig große natürliche Zahlen" und natürliche Zahlen

sind $\in \mathbb{Q}$.

Zu 2.:

Das ist eine korrekte Beschreibung von "Dichtheit".

Zu 3.:

Das ist trivialerweise immer erfüllt, da rationale Zahlen

auch reelle Zahlen sind: nimm $r=q_1$.

Zu 4.:

Hat nichts mit Dichtheit zu tun, sondern ist immer erfüllt:

wähle $q=(x+y)/2$.