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Liebe Community,

ich soll zu den folgenden Kurvenbeschreibungen Parametrisierungen definieren, ich habe leider keinen Ansatzpunkt, wie das geht.


a) die Menge aller (x, y) mit 2x² + y² = 1

b) der Schnitt der Kugeloberfläche mit Radius 2 und Mittelpunkt (0, 0, 1) mit der Ebene aller (x, y, z) mit x = z

c) die um 45 Grad im Uhrzeigersinn um den Ursprung gedrehte Normalparabel


Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe! :)

von

1 Antwort

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Hallo,

Die Kurve bei a) ist eine Ellipse. Du kannst die Koordinaten \((x,\,y)\) von dem Parameter \(\theta\) abhängig machen$$\left(x,y\right)=\left(\frac{1}{2}\cos\left(\theta\right),\sin\left(\theta\right)\right)$$ Oder ersetze z.B. die Koordinaten \(x\) und \(y\) durch die Polarkoordinaten. Dann erhält man$$r =\sqrt{\frac{1}{\cos\left(\theta\right)^{2}+1}}$$


bei b) hilft zunächst die räumliche Vorstellung (klick auf das Bild)
blob.png

keine Ahnung, ob Du das so einfach sehen kannst. Ich sehe, dass die Schnittmenge ein Kreis mit Mittelpunkt \((0,5|\,0|\,0,5)\) und mit einem Radius von \(r=\sqrt 2/2\) ist. Und als Parameter taugt wieder ein Winkel \(\theta\) von dem die drei kartesischen Koordinaten abhängen:$$\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,5\\ 0\\ 0,5\end{pmatrix} + \frac{1}{2} \sqrt 2 \underbrace{\begin{pmatrix}\sin(\theta) / \sqrt 2\\ \cos(\theta)\\ \sin(\theta) /\sqrt 2\end{pmatrix}}_{||=1} = \frac 12\begin{pmatrix}1+\sin(\theta)\\ \sqrt 2 \cdot \cos(\theta)\\ 1+\sin(\theta)\end{pmatrix}$$Tipp: der Betrag des 'Drehvektors' muss \(=1\) sein.


zu c) Die einfachste Art eine Normalparabel in Parameterschreibweise darzustellen ist schlicht$$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} t\\t^2 \end{pmatrix}$$Und um das zu drehen multipliziert man den Vektor mit der üblichen Drehmatrix \(D\)$$D = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$$ und mit \(\theta = -45°=-\pi/4\) wird daraus$$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \frac{\sqrt 2}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} t\\t^2 \end{pmatrix}$$und so sieht es dann in Desmos aus:


Eine Alternative in Polarkoordinaten sähe so aus$$r=\frac{\tan\left(\theta-a\right)}{\cos\left(\theta-a\right)} \quad a = -\frac{\pi}{4}$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

von 43 k

Antwort vervollständigt ...

Hallo Werner,

vielen Dank, das hat mir sehr geholfen!

Viele Grüße

Nuria

Könntest du mir bitte bei der Aufgabe zum Anhänger helfen?

https://www.nanolounge.de/35368/muss-bei-einem-anhanger-mit-einem-oder-lose-lager-gegeben-sein

Hab dir per Mail das Bild zur Aufgabe geschickt.


Danke

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