Basis zur Normalform

Question

Aufgabe:

\( Q=\left\{x \in \mathbb{R}^{3}: 2\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{1} x_{3}+x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}\right)=1\right\} \)
a) Geben Sie die symmetrische Matrixdarstellung der Quadrik an.
b) Ist der quadratische Anteil der Quadrik positiv definit?
c) Bringen Sie die Quadrik auf Normalform und geben Sie eine Basis an, bezüglich der die Quadrik Normalform besitzt.

Problem/Ansatz:

Bei Aufgabe c.) komme ich nicht weiter

Answer 1

\( 2\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{1} x_{3}+x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}\right)=1\)

gibt \( u^T A u = 1 \) mit \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)  und \( u = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)

Und A hat die Eigenwerte 1 und 4.

Du brauchst eine Basis aus Eigenvektoren, also berechne

\(  A = 1 \cdot u  \)  und   \(  A = 4 \cdot u \) und du erhältst die Eigenvektoren

\(  \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix}   \) und \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \)

Die musst du noch normieren.