Der Lebensmittelherstellers ,„Schmeckt gut!" behauptet, dass mehr als \( 50 \% \) der Konsumenten die neue Rezeptur eines Nahrungsmittels gegenüber der alten Rezeptur bevorzugen. In einer anonymen Umfrage stellte sich heraus, dass von 500 zufälligen Testpersonen, 268 Personen die neue Rezeptur tatsächlich bevorzugen.
(i) Formulieren Sie aus Sicht des Lebensmittelherstellers ein passendes Testproblem zum Signifikanzniveau \( \alpha=0.05 \).
(ii) Bestimmen Sie den dazugehörigen kritischen Wert \( c \) und geben Sie den Ablehnungund Annahmebereich der Nullhypothesse \( H_{0} \) an.
(iii) Kann aufgrund des Tests der Kritiker die Nullhypothese \( H_{0} \) abgelehnt werden?
(iv) Berechnen Sie den Fehler 1. Art für den größten Wert \( p \), für den die Nullhypothese gerade noch gilt und formulieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
(v) Berechnen Sie den Fehler 2. Art für den Schätzwert \( \hat{p} \) und formulieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Hinweis:
- \( X \sim \operatorname{Bin}(500,0.5): F(267)=0.9413, F(268)=0.9511, F(269)=0.9595 \),
- \( X \sim \operatorname{Bin}(500,0.536): F(267)=0.4817, F(268)=0.5175, F(269)=0.5531 \).
