exemplare werden einer population entnommen

Question

Aufgabe:

Eine Population wächst unter Laborbedingungen exponentiell und vervielfältigt sich um einen Faktor 6 alle 8 Tage.

1. Bestimmen Sie den Wachstumskoeffizienten λ.

2. Nehmen Sie nun an, dass täglich 30 Exemplare der Population entnommen werden sollen. Wie groß muss dann die Anfangspopulation m0 mindestens sein, damit sie sich nicht verringert?

Problem/Ansatz:

das erste weiß ich aber wie berrechne ich das 2.? hilfe gern gesehen

Comments

vervielfältigt sich um einen Faktor 6 alle 8 Tage

Welches Buch benutzt denn solche eher schwer zu interpretierende Formulierungen?

Beträgt die Versechsfachungszeit nun acht Tage oder sieben Tage?

Answer 1

Diese Frage lässt sich nach dem gleichen Schema lösen wie deine etwas ältere Frage von heute

https://www.mathelounge.de/950828/bestimmen-sie-den-wachstumskoeffizienten

Dort hast du eine Lösung bereits verstanden und ausgezeichnet. Wende das Lösungsverfahren also auch hier an. Das solltest du hinbekommen.

Answer 2

Aloha :)

$$n(t)=n_0\cdot 6^{t/8}=n_0\cdot e^{\ln(6^{t/8})}=n_0\cdot e^{\frac t8\ln(6)}=n_0\cdot e^{\frac{\ln(6)}{8}\,t}$$Der Wachstumskoeffizient ist also \(\lambda=\frac{\ln(6)}{8}\approx0,22397\)

Damit sich bei Entnahme von täglich 30 Exemplaren die Population nicht verringert, müssen jeden Tag mindestens 30 Exemplare dazu kommen. Da die Population am ersten Tag am kleinsten ist, kommen im ersten Zeitintervall am wenigsten Exemplare dazu. Wir müssen also sicherstellen, dass von \(t=0\) auf \(t=1\) mindestens 30 Exemplare dazu kommen:$$n(1)-n(0)\ge30\implies n_0\cdot 6^{\frac{1}{8}}-n_0\cdot 6^{0}\ge30\implies n_0\cdot\left(6^{\frac18}-1\right)\ge30\implies$$$$n_0\ge\frac{30}{6^{\frac18}-1}\approx119,5\implies n_0\ge120$$Es werden zu Anfang also mindestens \(120\) Exemplare benötigt.