f(x, y) ist ƒ stetig in 0?

Question

Aufgabe:

… Es sei ƒ : ℝ² → ℝ definiert durch ƒ(0,0) := 0 und ƒ(x , y) := ( xy³) /(x² +y²) für (x , y) ≠ (0,0).

ist  ƒ stetig in 0 ?

Problem/Ansatz:

… Wie kann man diese Aufgabe lösen ?

Comments

in Polarkoordinaten lautet die Funktion

$$f(r,\phi) = r^2\cdot\cos(\phi)\sin^3(\phi)$$

Betrachte jetzt Nullfolgen $(r,\phi) \to (0,0)$.

---

Ich meinte nur Nullfolgen $r \to 0$. Das Argument muss ja nicht zwingend gegen 0 gehen.

Answer 1

Aloha :)

Damit die Funktion $f(x;y)$ in $(x_0;y_0)=(0;0)$ stetig ist, muss sie für alle möglichen Richtungen, aus denen du kommen kannst, gegen $f(0;0)=0$ konvergieren. Bei Funktionen einer Variablen ist das überschaubar, weil du dich nur von links oder von rechts dem fraglichen Wert $x_0$ nähern kannst, sodass du nur den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert zu betrachten brauchst.

In deinem 2-dimensionalen Fall hier kannst du z.B. Polarkoordinaten wählen:$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}$$und den Grenzwert $r\to0$ bilden, wobei du aber explizit alle möglichen Richtungen $\varphi\in[0;2\pi]$ zulässt:

$$f(x(r,\varphi);y(r,\varphi))=\frac{xy^3}{x^2+y^2}=\frac{r\cos\varphi\,r^3\sin^3\varphi}{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi}=\frac{r^4\cos\varphi\,\sin^3\varphi}{r^2}=r^2\cos\varphi\sin^3\varphi$$

Wegen $|\cos\varphi\sin^3\varphi|\le1$ für alle Richtungen $\varphi\in[0;2\pi]$ gilt:$$\left|f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))\right|\le r^2\quad\implies\quad \lim\limits_{r\to0}f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=0=f(0;0)\quad\checkmark$$

Die Funktion ist also stetig in $(0;0)$.