Wie kann die Sinusfunktion bei 2π überhaupt einen Wert haben?

Question

Aufgabe:

Erstellen der Sinusfunktion

Problem/Ansatz:

Bei der rad Einheit entsprechen 2π  360°. Wie kann die Sinusfunktion bei 2π überhaupt einen Wert haben? Die x-Achsen Beschriftung sei π Anteile und y der sinus von diesen π Anteilen. Der Sinus gibt ja das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse an. Der Sinus von 400 sind 0.6427 cirka. Aber ein Winkel im Dreieck kann doch keine 400 Grad haben.

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Aber was ist dann genau der Sinus? Ich kenne den Sinus ja bisher nur als Gegenkathete durch Hypotenuse. Wenn es aber bei einem Winkel von 270° im Einheitskreis, gar kein Dreieck (bzw. mit Hypotenuse) mehr gibt, wie kann der Sinus dann einen Wert haben. In eigentlich allen Erklärungsvideos wird ein Dreieck gezeigt, das sich, je weiter man am Rande des Einheitskreises bewegt, verändert, aber wenn der Sinus = Gegenkathete durch Hypotenuse ist, und es keine Hypotenuse gibt, wie berechnet sich dann der Wert des Sinus?

Answer 1

Hallo,

guck mal hier:

https://www.matheretter.de/wiki/graph-sinusfunktion-im-einheitskreis

Im ersten Quadranten entspricht der Sinus der Definition am rechtwinkligen Dreieck.

Dann fragt man sich, wie können Sinus und Cosinus für beliebige Winkel definiert werden, sodass es mit der Definition im rechtwinkligen Dreieck zusammen passt.

Daraufhin kamen schlaue Leute auf die Idee, die Koordinaten der Punkte auf dem Einheitskreis zu betrachten und x als cosα und y als sinα festzulegen.

Also P(cosα|sinα), wobei α der Winkel zwischen der positiven x-Achse und der Strecke OP ist.

:-)

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Achso. Also hat die Sinusfunktion als ganzes garnichts mehr mit meinem letzten Thema zu tun ,,Dreiecke" sondern nur der Sinus. Und das jetzt leutet ein neues Themenfeld ein sozusagen?

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Für Winkel bis 90° stimmen die Definitionen überein.

Ich habe meine Antwort ergänzt.

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In meinem Heft steht: Es gelten folgende Beziehungen:

...

...

Sin(180°+alpha) = -sin(alpha)

Aber gilt nicht auch; Sin(180°+alpha)=sin(-alpha)?

Sin(180°+90) = -1

-sin(90)=  -1

sin(-90)= -1

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Hat sich schon erledigt, aber danke falls jemand helfen wollte!

Answer 2

Der Sinus gibt ja das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse an.

Das ist zu einschränkend. So kannst du den Sinus nur für Winkel 0°<α<90° definieren.

Es gibt umfasssendere Definitionen (z.B. Potenzreihen oder Betrachtungen am Einheitskreis).

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Achso. Also hat die Sinusfunktion als ganzes garnichts mehr mit meinem letzten Thema zu tun ,,Dreiecke" sondern nur der Sinus. Und das jetzt leutet ein neues Themenfeld ein sozusagen?